lunes, 28 de enero de 2013

Matemática del crecimiento y del decrecimiento

Imagen de http://theragblog.blogspot.co.uk



Queridos lectores,

El siempre eficaz Luis Cosin me envió hace semanas este post. Es bastante técnico, pero permite ilustrar con ecuaciones y modelos sencillos la realidad de nuestro paradigma. Se puede buscar complicada retórica para enmascarar las cosas, pero al final el proceso sigue una lógica implacable.

Espero que les resulte tan interesante como a mi.

Salu2,
AMT


Dinámicas de crecimiento y decrecimiento
 
Las técnicas de modelización mediante sistemas dinámicos permiten construir modelos de la realidad y hacer estimaciones razonables sobre su comportamiento futuro.
Actualmente son una herramienta indispensable en la toma de decisiones.

En este artículo, vamos a discutir varios de los modelos dinámicos empleados más frecuentemente para describir fenómenos naturales y sociológicos.

Quien esté interesado en la parte matemática, puede ver el desarrollo en el anexo.



1. Crecimiento exponencial

Cuando la tasa de crecimiento de una magnitud es proporcional a la cantidad existente (es decir, cuando, de alguna manera, todos los elementos existentes contribuyen al crecimiento):

y’ = k y

Con k la tasa de crecimiento, el crecimiento de esa magnitud tiene forma exponencial (ver anexo 1):

y = yo ekt

Con yo el valor en el momento inicial t = 0. A continuación, mostramos un ejemplo de gráfica de crecimiento exponencial con yo=1 y una tasa del 5%: 

 


Se llama periodo de duplicación al tiempo necesario para que y(t) se duplique. Es decir, es el periodo p de modo que:

y(t+p) = 2 y(t)

Sustituimos:

yo ek(t+p) = 2 yo ekt

Cancelando yo y por propiedades de los exponentes:

yo ekt ekp = 2 yo ekt

Cancelando el factor yo ekt a ambos lados:

ekp = 2

es decir, el periodo de duplicación es:

p = ln(2) / k ~ 0,69 / k.

Por ejemplo, si la tasa de crecimiento es de un 5%, entonces k = 0,05 y el periodo de duplicación es p = 0,69 / 0,05 = 13,8.

Como regla mnemotécnica aproximada puede usarse la siguiente (regla 10/7):

Una tasa de crecimiento del 10% supone duplicar cada 7 unidades de tiempo”

El crecimiento exponencial se observa en la naturaleza cuando hay retroalimentación (cada elemento contribuye al crecimiento posterior) y aún no actúan restricciones (por ejemplo, crecimiento inicial de una colonia de bacterias o expansión de una epidemia).



2. Decrecimiento exponencial

El decrecimiento exponencial es una situación completamente análoga: se da cuando la tasa de disminución de una magnitud es proporcional a las existencias.

y’ = - k y

con k (positivo) la tasa de decrecimiento. En este caso, la curva tiene forma de exponencial inversa (ver anexo 2):

y = yo e –kt

Con yo el valor en el momento inicial t = 0. Por ejemplo, para una cantidad inicial yo = 100 y una tasa de decrecimiento del 5%:





Se llama periodo de semiagotamiento (o semidesintegración) al tiempo que tarda la cantidad existente en reducirse a la mitad.

Es decir, es el periodo p de modo que:

2 y(t+p) = y(t)

Sustituimos:

2 yo e-k(t+p) = yo e-kt

Por propiedades de los exponentes:

2 yo e-kt e-kp = yo e-kt

Cancelando el factor yo ekt en los dos miembros:

2 e-kp = 1

es decir, al igual que en el caso del crecimiento exponencial:

p = - ln(1/2) / k ~ 0,69 / k

Si la tasa de decrecimiento es de un 5%, entonces k = 0,05 y el periodo de semiagotamiento es p = 0,69 / 0,05 = 13,8.

Como regla mnemotécnica aproximada puede usarse la siguiente (regla 10/7):

Una tasa de decrecimiento del 10% supone reducir a la mitad cada 7 unidades de tiempo”

Experimentalmente, se encuentran decrecimientos exponenciales en fenómenos naturales como la desintegración de núcleos atómicos, y en la tasa de descubrimiento de nuevos yacimientos de un recurso finito (cuando la tasa de nuevos descubrimientos puede ser aproximada a una proporción de “lo que queda por descubrir”).



3. Crecimiento logístico

Normalmente, el crecimiento de una magnitud es exponencial en la ausencia de restricciones, pero cuando éstas se manifiestan, lo hacen disminuyendo la tasa a medida que ésta se aproxima a un máximo admisible.

El crecimiento logístico es una combinación de crecimiento y decrecimiento exponenciales. Un ejemplo característico es la curva logística, que es la solución de la ecuación de Verhulst:

y’ = k y (1 – y/r)

Con k la tasa de crecimiento “libre de restricciones”, y r el máximo admisible.

Para y mucho menor que r, el crecimiento es el máximo posible (tasa k), pero a medida que y se va aproximando a r, éste va disminuyendo hasta hacerse 0.

En este caso, la curva tiene la siguiente forma (ver anexo 3):

y = r / ( 1 + ( r/yo – 1 ) e-kt )

Con yo el valor en el momento inicial t = 0. Por ejemplo, tomando un máximo de r = 100, un valor inicial yo=1 y un crecimiento libre de restricciones k = 5% tenemos la siguiente gráfica característica:





En este modelo hay un punto característico, llamado punto de inflexión, en el que la curva deja de ser cóncava para ser conveza. Corresponde al momento en que la segunda derivada (la “aceleración” de y) es 0. Es decir:

0 = y’’ = k y’ (1 – y/r) – k y y’/r = k y’ – 2 k y y’/r = k y’ (1 – 2 y / r )

Como la derivada y’ no se anula, entonces el segundo factor debe anularse y tenemos:

y = r/2

Es decir, cundo la magnitud y alcanza la mitad de su valor máximo, el crecimiento comienza a ser más lento.

El crecimiento logístico es una generalización del crecimiento exponencial.

  • Para pequeños valores, de la magnitud, se asemeja mucho al crecimiento exponencial.
  • Sin embargo, a partir de un cierto punto, el crecimiento se ralentiza hasta tender a 0.

La curva logística representa aproximadamente fenómenos que se auto-limitan: propagación de rumores, la extensión de una innovación tecnológica o una epidemia: al principio estos fenómenos se propagan rápidamente, pues cada “infectado” es susceptible de traspasar el “contagio” a cualquier otro individuo que tenga contacto con él (en esta fase, el crecimiento parece exponencial), pero cuando el número de “infectados” crece, es cada vez más difícil encontrar una persona que previamente no haya estado en contacto con la “enfermedad”.

Es típica la aplicación de la ecuación logística al crecimiento poblacional según el cual:

  • La tasa de reproducción es proporcional a la población existente.
  • La tasa de reproducción es proporcional a la cantidad de recursos disponibles (que disminuye de forma proporcional a la población existente).



4. Un modelo para el agotamiento por uso de recursos finitos

Podemos combinar los modelos anteriores para describir el comportamiento de un recurso finito que se agota con el uso. Siguiendo la bibliografía más frecuente, llamaremos:

  • S(t) (de “stock) a las existencias en el instante t
  • P(t) a la producción total acumulada (por tanto, P’(t) es la producción instantánea)
  • Y a los recursos totales (una constante)
  • D(t) a la cantidad total descubierta acumulada hasta t (por tanto, D’(t) es la tasa de descubrimientos).

Entonces, haciendo dos sencillas hipótesis, que aproximan bastante bien la mayor parte de las situaciones reales:

  • La tasa de nuevos descubrimientos es proporcional a lo que queda por descubrir, por medio de una constante d (a medida que se va descubriendo “lo más fácil” cada vez va costando más descubrir “lo más difícil”):

D’ = d ( Y – D ) (I)



  • La producción instantánea P’ es proporcional al stock disponible S en cada momento, por medio de una constante p (áreas de producción grandes, con más recursos, producen más rápido que áreas más pequeñas):

P’ = p S (II)

La variación instantánea del stock S’ son entonces los nuevos descubrimientos D’ menos la producción instantánea P’:

S’ = D’ - P’ (III)

Tenemos así un sistema dinámico sencillo con tres variables (D, P y S) regido por tres ecuaciones diferenciales (I), (II) y (III). Puede demostrarse (ver el anexo 3) que la solución a este sistema es:

D(t) = Y ( 1 - e-dt )

S(t) = ( e-pt - e-dt ) d Y / ( d - p )

P(t) = Y ( 1 + ( - d e-pt + p e-dt ) / ( d - p ) )

Por ejemplo, tomando unas existencias totales de Y = 100, una tasa de descubrimiento d = 5% (esto es como decir que prácticamente todo el recurso se descubrirá antes de 100 periodos de tiempo) y una tasa de producción p = 8% (lo que equivale a decir que en todo momento se produce a un ritmo al cual “aún queda recurso para 30 periodos”) obtenemos el siguiente gráfico (que a estas alturas ya debería ser familiar para muchos!).



La cantidad descubierta (línea roja) “tira” hacia arriba de la cantidad producida (línea morada) aunque ésta lleva un retraso de casi 20 o 30 unidades de tiempo.

Notar que las existencias (línea verde) alcanzan un máximo y luego disminuyen suavemente. Las existencias nunca superan el 30% del total.

La línea azul claro es la producción instantánea y la granate, la tasa de descubrimientos. A esta escala no se aprecian muy bien, pero si hacemos un “zoom” obtenemos la curva de declinio clásica (la curva verde son las reservas y la azul claro, la producción):






Hacemos un zoom aún mayor para ver en detalle las curvas de descubrimientos y producción:



En su modelo, Hubbert predice una producción mayor en el pico (y, consecuentemente, una caída más abrupta), aunque la forma de la curva no es exactamente una “campana” sino una “beta” que se “estira” hacia la derecha. La “beta” y la exponencial inversa (agotamiento exponencial) son las curvas de declinio más típica observada en minas y pozos de petróleo y gas.

Una conclusión interesante de este modelo es que se puede calcular fácilmente el máximo de producción (y de las reservas) en función de los recursos totales, la tasa de descubrimientos y la tasa de producción.

Es el momento en que P’ = pS deja de crecer, es decir, cuando su derivada P’’ = 0 Pero:

0 = P’’ = p S’= p ( D’ - P’ ) = p ( d ( Y – D ) – P’ )

Es decir, la condición de máximo es:

P’ = d ( Y – D ) = D’

El máximo ocurre exactamente cuando la tasa de descubrimientos iguala a la producción instantánea (en el gráfico, ocurre cuando las líneas azul claro y granate se cruzan). Técnicamente, esto ocurre cuando se dejan de poder remplazar todas las reservas consumidas. A partir de ahí, ya no hay vuelta atrás.

En el ejemplo mostrado, en ningún momento se produce más del 2,3% del total de existencias.

A modo de curiosidad, muestro aquí los datos numéricos:

t D D' S P P'
0
0,00
5,00
0,00
0,00
0,00
1
4,88
4,76
4,69
0,19
0,37
2
9,52
4,52
8,78
0,73
0,70
3
13,93
4,30
12,35
1,58
0,99
4
18,13
4,09
15,43
2,70
1,23
5
22,12
3,89
18,08
4,04
1,45
6
25,92
3,70
20,34
5,58
1,63
7
29,53
3,52
22,25
7,28
1,78
8
32,97
3,35
23,84
9,13
1,91
9
36,24
3,19
25,15
11,09
2,01
10
39,35
3,03
26,20
13,15
2,10
11
42,31
2,88
27,03
15,28
2,16
12
45,12
2,74
27,65
17,47
2,21
13
47,80
2,61
28,10
19,70
2,25
14
50,34
2,48
28,38
21,96
2,27
15
52,76
2,36
28,53
24,23
2,28
16
55,07
2,25
28,55
26,52
2,28
17
57,26
2,14
28,46
28,80
2,28
18
59,34
2,03
28,27
31,07
2,26
19
61,33
1,93
28,00
33,32
2,24
20
63,21
1,84
27,66
35,55
2,21
21
65,01
1,75
27,26
37,75
2,18
22
66,71
1,66
26,80
39,91
2,14
23
68,34
1,58
26,30
42,03
2,10
24
69,88
1,51
25,76
44,12
2,06
25
71,35
1,43
25,19
46,15
2,02
26
72,75
1,36
24,60
48,15
1,97
27
74,08
1,30
23,99
50,09
1,92
28
75,34
1,23
23,36
51,98
1,87
29
76,54
1,17
22,72
53,83
1,82
30
77,69
1,12
22,07
55,62
1,77
31
78,78
1,06
21,42
57,36
1,71
32
79,81
1,01
20,77
59,05
1,66
33
80,80
0,96
20,11
60,68
1,61
34
81,73
0,91
19,47
62,26
1,56
35
82,62
0,87
18,83
63,80
1,51
36
83,47
0,83
18,19
65,28
1,46
37
84,28
0,79
17,57
66,71
1,41
38
85,04
0,75
16,96
68,09
1,36
39
85,77
0,71
16,35
69,42
1,31
40
86,47
0,68
15,76
70,70
1,26
41
87,13
0,64
15,18
71,94
1,21
42
87,75
0,61
14,62
73,13
1,17
43
88,35
0,58
14,07
74,28
1,13
44
88,92
0,55
13,53
75,39
1,08
45
89,46
0,53
13,01
76,45
1,04
46
89,97
0,50
12,51
77,47
1,00
47
90,46
0,48
12,01
78,45
0,96
48
90,93
0,45
11,54
79,39
0,92
49
91,37
0,43
11,08
80,30
0,89
50
91,79
0,41
10,63
81,16
0,85
51
92,19
0,39
10,20
82,00
0,82
52
92,57
0,37
9,78
82,79
0,78
53
92,93
0,35
9,37
83,56
0,75
54
93,28
0,34
8,98
84,30
0,72
55
93,61
0,32
8,61
85,00
0,69
56
93,92
0,30
8,25
85,67
0,66
57
94,22
0,29
7,90
86,32
0,63
58
94,50
0,28
7,56
86,94
0,60
59
94,77
0,26
7,24
87,53
0,58
60
95,02
0,25
6,93
88,10
0,55
61
95,26
0,24
6,63
88,64
0,53
62
95,50
0,23
6,34
89,16
0,51
63
95,71
0,21
6,06
89,65
0,49
64
95,92
0,20
5,80
90,13
0,46
65
96,12
0,19
5,54
90,58
0,44
66
96,31
0,18
5,30
91,01
0,42
67
96,49
0,18
5,06
91,43
0,41
68
96,66
0,17
4,84
91,82
0,39
69
96,83
0,16
4,62
92,20
0,37
70
96,98
0,15
4,42
92,56
0,35
71
97,13
0,14
4,22
92,91
0,34
72
97,27
0,14
4,03
93,24
0,32
73
97,40
0,13
3,85
93,55
0,31



5. Modelos de predador-presa

Son modelos aplicables a recusos renovables, donde un recurso que se autoregenera (que podemos asimilar a la “presa”) crece cuando el consumidor (que podemos asimilar a”predador”) retrocede y decrece cuado el consumidor crece.

Si llamamos S a la cantidad o “stock” del recurso (presa) y C a la cantidad del consumidor (predador) en cada instante t, uno de los modelos más exitosos a la hora de predecir fenómenos observables se debe a Lotka y Volterra.

Realmente, se trata de una generalización del crecimiento logístico. Se asume que:

  • Para la presa, el crecimiento es proporcional a la cantidad existente S y es frenado por la cantidad de predadores C:

S’ = d S ( 1 – C/e)

El factor d es la tasa de crecimiento “libre de predadores” y e es la cantidad de predadores a partir de la cual la tasa de crecimiento se hace negativa.

  • Para el predador, el decrecimiento es proporcional a la cantidad de competencia (predadores) y es suavizado por la cantidad de presas:

C’ = - f C ( 1 – S/g )

El factor f es la tasa de decrecimiento “libre de presas” y g es la cantidad de presas a partir de la cual la tasa de crecimiento se hace positiva.

Es duro ser presa, pero más duro aún es ser predador!

En general, estas ecuaciones tienen una solución, pero no es analítica (es decir, la solución no se puede expresar con una fórmula como en los ejemplos anteriores), pero sí pueden usarse métodos numéricos en una hoja de cálculo para obtener aproximaciones:

Una característica de las soluciones de la ecuación es que tienen un carácter aproximadamente cíclico (ambos valores oscilan en un rango máximo y mínimo). Por ejemplo, para d = 0,05 (tasa de crecimiento del 5%), e = 15 (número máximo sostenible de predadores), f = 0,1 (tasa de mortalidad de predadores del 10%) y g = 60 (número mínimo de presas necesarias para que la población de predadores se estabilice), tenemos:




El carácter cíclico y la presencia de atractores se ve mejor representando la evolución de C y S conjuntas (presas en eje horizontal y predadores en eje vertical):







El sistema de Lotka-Volterra se ha ropuesto como modelo de los ciclos económicos cuando hay un factor limitante (por ejemplo, la oferta monetaria o el suministro energético).




ANEXOS

Anexo 1: Ley de crecimiento exponencial

Si:

y’ = k y

Dividiendo por y ambos miembros:

y’ / y = k

E integrando:

ln(y) = kt + c

De donde:

y = ekt+c

Si asumimos que en el momento inicial t = 0 el valor es yo entonces c = ln(yo).

y = yo ekt



Anexo 2: Ley de decrecimiento exponencial

Si:

y’ = - k y

Dividiendo por y ambos miembros:

y’ / y = - k

E integrando:

ln(y) = - kt + c

De donde:

y = e-kt+c

Si queremos que el valor inicial t = 0 la cantidad inicial sea yo, entonces c = ln(yo), o bien:

y = yo e –kt



Anexo 3: Ley de crecimiento logístico

Si:

y’ = k y (1 – y/r)

Hacemos el cambio de variable z = y/r. Entonces:

r z’ = k r z ( 1 – z )

Cancelamos el factor r a ambos lados:

k z ( 1 – z ) = z’

Dividimos por z ( 1 – z ):

k = z’ / z ( 1 – z )

Teniendo en cuenta que:

-k = - z’ / ( 1 – z ) - z’ / z = ln ( 1 – z )’ – ln( z )’

Integrando ambos lados:

-kt + c = ln( 1 – z ) - ln( z ) = ln ( ( 1 – z ) / z )

Tomando exponenciales:

e-kt+c = ( 1 – z ) / z = 1/z – 1

Es decir:

z ( 1 +e-kt+c ) = 1

z = 1 / ( 1 + e-kt+c )

Deshacemos el cambio de variable:

y = r z = r / ( 1 + e-kt+c )

Si el valor en el instante t=0 es yo, entonces podemos tomar c = ln( r/ yo – 1 ), es decir:

y = r / ( 1 + ( r/yo – 1 ) e-kt )



Anexo 4: Ley de agotamiento de recursos finitos

Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

D’ = d ( Y – D ) (I)

P’ = p S (II)

S’ = D’ - P’ (III)

Vamos a simplificarlo. Sustituyendo (II) en (III):

D’ = d ( Y – D ) (I)

S’ = D’ - p S (III)

La ecuación (I) podemos rescribirla así:

D’ / ( Y – D ) = d

- ln ( K – D )‘ = - d

Integrando:

Y – D = e-dt + c

Es decir:

D = Y - e-dt + c

Puesto que D(0) = 0 (al principio, asumimos que no se ha descubierto nada aún) tenemos:

0 = Y - e c

es decir, c = ln(Y), de donde:

D(t) = Y ( 1 - e-dt )

Sustituyendo en (III):

S’ = D’ - p S = d Y e-dt - p S

S’ + p S = d Y e-dt

Derivamos ambos lados:

S’’ + p S’ = - d2 Y e-dt

Cancelamos los términos a la derecha (multiplicando la primera ecuación por d y sumando miembro a miembro):

( S’’ + p S’ ) + d (S’ + p S ) = 0

Es decir:

S’’ + ( p + d ) S’ + pd = 0

Obtenemos una ecuación diferencial lineal, que podemos expresar así (∂ el operador “derivada respecto de t”):

( ∂ + p ) ( ∂ + d ) S = 0

Y cualquier solución a este sistema (que tiene polinomio característico (X+p)(X+d)) es de la forma:

S = u e-pt + v e-dt

Con u y v cualesquiera. Imponemos las restricciones. S(0) = 0 por lo que:

0 = u + v

Y entonces:

S = u ( e-pt - e-dt )

Además,

S’ = d Y e-dt - p S

Sustituyendo:

u ( -p e-pt + d e-dt ) = d Y e-dt - p u ( e-pt - e-dt )

Cancelamos términos a ambos lados:

d u e-dt = d Y e-dt + p u e-dt

Y dividimos por e-dt para obtener una expresión de u:

d u = d Y + p u

u = d Y / ( d - p )

Lo que nos da la expresión para S:

S(t) = ( e-pt - e-dt ) d Y / ( d - p )

Por último, tenemos la tasa de producción:

P’ = p S = ( e-pt - e-dt ) p d Y / ( d - p )

Integrando:

P = ( - e-pt /p + e-dt / d ) p d Y / ( d - p ) + c

Es decir:

P = ( - d e-pt + p e-dt ) Y / ( d - p ) + c

Como P(0) = 0 (la producción inicial es 0):

0 = ( - d + p ) Y / ( d - p ) + c = -Y + c

De donde:

c = Y

Y tenemos finalmente:

P(t) = Y ( 1 + ( - d e-pt + p e-dt ) / ( d - p ) )



Anexo 5: Leyes de Lotka y Volterra

Si tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
Y’ = p Y – q YC = Y ( p – q C)
C’ = r YC – s C = C ( rY – s )

Reordenamos:

Ln(Y)’ = Y’/Y = p – q C
Ln(C)’ = C’/C = r Y – s


Referencias:







 

46 comentarios:

  1. No se ven los gráficos; al menos en mi Firefox corriendo sobre Linux (Ubuntu)
    :-(

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    Respuestas
    1. Efectivamente, los gráficos faltan. Se los pediré a Luis y los insertaré en cuanto pueda.

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    2. Hola.

      Ante todo gracias por el esfuerzo de divulgación, he descubierto el blog y ya casi me he leído el PDF de las entradas.

      Me gustaría saber si hay algún artículo sobre el cultivo de algas para generar energá o componentes (o al menos componentes que aunque no puedan soportar una economía capitalista, puedan ser útiles en hospitales y las cosas realmente necesarias)ya que no lo he podido encontrar y siempre he tenido curiosidad, al vivir en una isla.

      Saludos desde Italia (mis amigos italianos entienden su programa de la televisión bastante bien :)

      Saludos cordales

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    3. Anónimo:

      En castellano existe uno de los compendios más completos sobre el tema del biodiesel de algas de todo mundo.

      Me atrevo a decir que, a esta altura, ese compendio es el más completo en CUALQUIER idioma.

      Lo tienes en el Foro de CRISIS ENERGETICA y lleva ya casi siete años de acumulación de datos y más de 70 páginas.

      Lo encontrarás aquí:

      http://www.crisisenergetica.org/forum/viewtopic.php?showtopic=28385

      Para simplifica tu vida agrego TRES cosas:

      a) No es rentable hacer combustible de algas y, quizás, no lo sea nunca.

      b) Dado que el tema que te indico es un FORO y no una TESIS, la información está dispersa y comentada. Esto lo hace mucho más rica y completa, pero más compleja de sistematizar.
      En cualquier caso su lectura es apasionante y mejor que cualquier novela.

      c) Lamentablemente el Foro de Crisis Energética está algo abandonado y funciona MAL. Insiste hasta que puedas hacer la consulta porque -al menos a mi- me falla muchas veces.
      Esto es una pena, pero es así.

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  2. No se si soy solo yo pero no puedo ver las gráficas a las que hace referencia el articulo

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  3. Producción, Stock y Descubrimientos. Sencillo, claro y predictivo.

    Los políticos y economistas intentan soluciones a corto plazo para problemas a corto plazo. El hecho de que ninguna de sus medidas funcione y de que los problemas aumenten debería ser una señal suficiente. La búsqueda de recursos, para intentar mantener la tasa de Descubrimientos, supondrá guerras en zonas como África y exclusión social en "paises desarrollados". Cada vez mas problemas que se solucionaran con un nuevo abuso en un sitio y una nueva injusticia en otro.

    Mike.



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  4. Estupendo artículo, aunque reconozco que el aparato matemático me espanta un poco.

    Mi conclusión es que nuestra población, o nuestra civilización, por su carácter predador respecto a la energía, sólo pueden decrecer.


    Nota: Antonio, se mencionan gráficos que no aparecen. Supongo que es la típica puñeta que hacen los blogs al importar textos...

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  5. Dos cosas.
    Primera, creo que deberian definirse claramente variables como y'. ¿Representa la derivada de y? Debería decirse claramente.
    Segunda. ¿Dónde está el "abstract"? Es decir, si hay alguna conclusión de este derroche de matemáticas, ¿dónde está? ¿Oculta entre las matemáticas? Para que las matemáticas ayuden, lo mínimo es expresar con claridad lo que aportan.

    Hace tiempo que tengo una regla (aunque a veces me la salto). Si alguien quiere transmitirme algo, es su responsabilidad. La mía es recibir lo que esa persona transmite. No lo es imaginar qué quiso decir y no dijo.

    Pero estos "trucos de la élite del conocimiento" como esconder las conclusiones en terminología abstrusa o matemáticas complejas me producen rechazo.

    Si no se plantea con claridad el problema ni la solución, las matemáticas dejan de ser una herramienta útil, y se convierten en un símbolo de estatus, como en otras disciplinas lo es el uso de palabras extrañas.

    Es la paradoja de la ciencia instrumental predominante: el "para qué" siempre parece sobrar.

    ¿Para qué todo esto? Quiero creer que el "para qué" está, oculto para que sólo lo pillen los iniciados, pero que está.

    Saludos.

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    1. En realidad oculta, oculta no está. En cuanto a la capacidad de divulgar, es una cualidad rara y complicada. El blog tiene artículos más divulgativos y artículos más complicados. En realidad, ése no es un blog de vocación mayoritaria, como muchas veces se ha explicado.

      Salu2.

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    2. No esperes entonces tener difusión mayoritaria, que es justo lo que haría falta.

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    3. Este tema se ha discutido muchas veces en el blog. El objetivo del blog es que sea una página de referencia que la gente pueda enlazar para dar soporte riguroso a sus argumentos. Con el tiempo, yo he tendido a hacer artículos más divulgativos para que sean más digeribles, aunque son recurrentes las quejas a la longitud de los artículos y a la cantidad de datos que en ellos se arrojan. Con todo y con eso, hay artículos que son, inevitablemente, infumables, como por ejemplo el que escribí yo respondiendo a una pregunta en apariencia simple: qué es la energía, o como necesariamente lo son algunos posts que desmontan magufadas (como el que dediqué en su día a la estafa del e-CAT.

      El blog es un instrumento para la divulgación, pero no es EL instrumento. Más divulgativas son las charlas y las (pocas) apariciones en algunos medios. Y en realidad el compromiso por la divulgación no se ciñe a mi solo. Si, por ejemplo, tú mismo crees que hace falta darle más difusión, tú mismo debes contribuir a ello, creando si es preciso más materiales más asequibles.

      Es un compromiso de todos, no es mi deber única y exclusivamente mío.

      Salu2.

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    4. Si bien coincido con Carlos en que el artículo es como un fuego de artificio (explota bellamente pero no va para ningún lado), no puedo menos que coincidir con Antonio en que, tener acceso a la base TEORICA de ciertas cuestiones, puede ser duro pero IMPRESCINDIBLE.

      Y aquí creo que Cosin nos ha descripto con elegancia y sencillez dos herramientas que TODOS necesitamos:

      - La curva logística (base de los cálculos de Hubbert)
      - El modelo de Lotka-Volterra (esencial para entender la dinámica de sistemas interactivos)

      Lamento que todavía no estén los gráficos (esenciales para completar la comprensión del tema) y, desde ya, me anoto en la fila de los que NO PUEDEN ENTENDER LAS FORMULAS pero, que me ha quedado en claro la dinámica de estos modelos, tengo que aceptar que si.

      Grande Luis Cosin !!

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  6. Uff, tendré que repasar las matemáticas de cuando estudiaba en la universidad.
    Una pregunta. ¿Hay alguna relación entre la tasa de crecimiento del PIB y el precio del dinero?
    Gracias

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  7. Tal vez esto suene a spam pero creo que es relevante: coursera.org una pagina que ofrece cursos masivos está ofrecienco un curso de energía a nivel universtario -por energía entiendase energéticos, recursos vaya.

    Un saludo

    https://www.coursera.org/course/energy101

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  8. Como explicaría este sistema Lotka-Voltarre el hecho que las tasas de natalidad de las poblaciones humanas mundiales no hayan dejado de disminuir en los últimos 40 años, hasta niveles considerados inferiores a los necesarios para el mantenimiento de la población a nivel mundial y este hecho sea más intenso en las sociedades más ricas del planeta.
    A mayor disponibilidad de recursos mayor decrecimiento de la natalidad, de forma voluntaria....
    ¿Es posible que este sistema no sea aplicable a la humanidad porque se rige por un modelo cultural y no solo por el natural?

    PD: De hecho el crecimiento de la población se explica en buena media por el incremento de la longevidad y no por el crecimiento de la población (que solo se da en las sociedades menos ricas y que también acumulan más perdidas de población: epidemias - VIH-, desnutrición, guerras.)


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    1. No lo explica. Las ecuaciones de Lotka-Volterra fueron creadas para explicar la interacción entre un depredador y su presa. El sistema humano es más complicado que eso. De hecho el autor dice que se "ha ropuesto como modelo de los ciclos económicos cuando hay un factor limitante (por ejemplo, la oferta monetaria o el suministro energético)."

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    2. Creo que el símil lo que pretende es asociar:
      - Ser humano = depredador
      - Recurso = presa

      Todos los sistemas son complejos y todos esta relacionados con el entorno y tienen sus factores limitantes (creo que mayormente es de lo que va este blog, del factor energético como limitante al crecimiento)

      En un modelo natural depredador-presa, la abundancia de recursos hace incrementar el número de presas que hace incrementar la cantidad de depredadores hasta llegar a un pico de de depredadores que hacen caer el numero de presas, los recursos llegan a su peak y la escasez fuerza la disminución de depredadores.

      En un modelo cultural el depredador puede darse cuenta que incrementar el número de depredadores va a acabar con el número de presas a las que puede acceder y decide de forma voluntaria incidir en el modelo al no incrementar el número de depredadores (que es lo que implica el descenso de natalidad ligado a la extensión del modelo cultural). Pero entonces parece que surgen efectos colaterales.

      El depredador aunque no incremente su número sufre un cambio: su objetivo cambia, ahora quiere tener un mayor número de presas a su alcance, y se acostumbra culturalmente a disponer de ellas.
      Y al mismo tiempo el hecho de tener más presas a su alcance mejora sus condiciones de vida y su persistencia en el entorno y la complejidad de sus relaciones al tener menos estrés del entorno(al mejorar las condiciones de supervivencia).

      El modelo cultural crea depredadores que creen que autoregulan su número para mejorar sus condiciones, incrementando el número de presas per capita y mejorando sus condiciones de vida. Esta sensación de control y de autoregulación cultural crear depredadores que responden a las incertidumbres con incremento de la complejidad de sus sistema, más rigidez, perdiendo capacidad de anticipación y de cambio... No cambian. Así que se llegará al "peak" cuando se acabe la última presa, si no hay un cambio cultural drástico.
      Entonces los escenarios son: los depredadores simplemente desaparecen, los depredadores cambian culturalmente de forma abrupta para eliminar las complejidades y adaptarse a un nuevo entorno en el que poder sobrevivir (esperemos llegar a tiempo al mono número 100).

      Lo inquietante es intentar vislumbrar hacia donde nos dirigimos.

      Por ahora veo respuestas que incrementan la complejidad del sistema ante la incertidumbre creciente y algún tímido intento de simplificación cultural.

      Veremos que nos depara el futuro.

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  9. Off topic:..o no...

    Absolutamente brutal articulo publicado en Zero Hedge, totalmente recomendable, y creo yo que traducido daria para figurar en el blog.

    No se lo pierdan...

    http://www.zerohedge.com/news/2013-01-26/end-era

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    1. Te comento Anskarius que es una cita de un reporte que encontrarás completo en el sitio de la Consultora Tullet Prebon.

      El artículo en zefohedge es apenas el resumen ejecutivo de dicho reporte.

      Si quieres el documento completo (es un PDF) lo tienes aquí:

      http://www.tullettprebon.com/Documents/strategyinsights/TPSI_009_Perfect_Storm_009.pdf

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  10. mucho numerito y muchas ecuaciones.... pero en eso se queda... aunque hable las lenguas de angeles sin amor no soy nada... :)

    no me censures los comentarios ¡¡ mm... detecto miedo en ti... mm...

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    1. No fui yo, sino el filtro de spam, que te tiene echado el ojo. De todos modos, a ti se te acabó magufear por aquí: no voy a permitir ningún enlace más a webs chorras, ni copias de textos absurdos de internet. A hacer el bobo a otro rincón, ricura.

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  11. Existe una entrevista muy interesante a Ramón Fernández Durán que deseo compartir con todos los lectores de este blog. A pesar de realizarse en el 2009 no ha perdido una pizca de actualidad. Este visionario escritor andaluz es un referente obligado de los peakoilers. RFD predice un declive brusco energético en el 2015 coincidiendo con AMT y Hugo Bardi (curva de Séneca). En otra parte de la entrevista RFD no cree en el colapso de esta civilización de la noche a la mañana sino que consistirá en un proceso que tardará décadas. El que no se consuela es porque no quiere.

    http://momeces.wordpress.com/2009/07/19/el-fin-de-los-combustibles-fosiles-y-los-nuevos-escenarios-energeticos/

    También hay un enlace interesante de Wikipedia sobre la economía del estado estacionario. El estado estacionario se enfrenta con la cuarta ley de la termodinámica la cual explica que el reciclaje completo es imposible. Hay tres soluciones para que la economía de estado estacionario sea viable. Los invito a que lean el artículo completo y saquen sus propias conclusiones.

    http://es.wikipedia.org/wiki/Econom%C3%ADa_del_estado_estacionario

    Un cordial saludo

    Nota: Espero ver las gráficas de Luis Cosin para entender bien el post

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  12. El PeakOil en la tele. En el último programa de Cuarto Milenio hablaron (brevemente) del PeakOil y de Michael Ruppert (el del documental "Colapso").
    Está a partir del minuto 1.23.00 (en cuenta atrás), después de hablar un buen rato del Yeti y la telepatía:

    http://www.mitele.es/programas-tv/cuarto-milenio/temporada-8/programa-305/

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    1. Anónimo Mad Max apocalipsis29 de enero de 2013, 12:02

      No deja de tener cierta logica que se hable del peak oil en Cuarto Milenio, queda claro el nivel de preocupacion por el tema , a la misma altura que el Yeti,ovnis,extraterrestres y demas historietas.

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    2. El Peak Oil no es una historieta más, es un fenómeno muy bien sustentado. El inmenso contenido de este blog es una buena prueba de ello.

      El nivel de preocupación será grande,no me cabe duda. De momento a vivir que son dos días.

      Un cordial saludo

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    3. Anónimo Mad Max apocalipsis29 de enero de 2013, 21:26

      Es que el tema deberia salir en los informativos todos los dias, y no en un programa de pandereta como Cuarto Milenio .
      Saludos.

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  13. Mal, otra vez mal.29 de enero de 2013, 8:38

    Puede decirme, por favor, ¿a que tipo de público va dirigido este post? ¿Puede utilizar usted uno de esos sistemas dinámicos para hacer una estimación de a que porcentaje del total de visitas de este blog le resultará interesante y/o comprensible?

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    1. Insisto: la lectura de The Oil Crash no es obligatoria. No todos los artículos que aquí se publiquen serán del interés de todo el mundo. Eso no quieren decir que no se puedan usar para referencia futura; y he puesto ejemplos arriba.

      Todos los que se preocupan tanto por la difusión tendrían que plantearse si no podrían, ellos mismos, aportar algo y llegar a donde el blog no llega. Yo por ejemplo hago bastantes más cosas.

      Salu2

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    2. Hay todo tipo de público.
      A mi, personalmente me parece que hacia falta este post (y desde hace tiempo), en especial para poder soportar mis argumentos cuando discuto estos temas con personas muy bien formadas pero que no acaban de considerar el cenit del petroleo (y el cenit de otros recursos naturales) como un problema a corto plazo.

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    3. Amigo mal:

      No todas las notas son idénticas en contenido, calidad o interés.

      Y, en general, Antonio posee cualidades de DIVULGADOR que a no todos le son concedidas por nuestro Señor.

      :-D

      De todos modos CREEME que, cuando profundices en estos temas, un día dirás:

      - Pero... por qué nadie me habrá explicado qué es y como opera una función logística ?, qué hice mal en mi vida para no entender el Modelo Lotka-Volterra ?, por qué Dios me castigó de ese modo ?

      Y, ese día, te acordarás de este tema -y para ese momento ya tendrá sus gráficos incluso- y, podrás acceder rápidamente a información valiosa y necesaria.

      Así es el mundo del conocimiento.

      ;-)

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  14. "El crecimiento exponencial se observa en la naturaleza cuando hay retroalimentación (cada elemento contribuye al crecimiento posterior) [...]". Se está refiriendo aquí a la retroalimentación positiva que genera comportamientos "explosivos". No hay que olvidar que también existe la retroalimentación negativa, que permite a un sistema autoregularse.

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    1. Xorx, ahí es donde entra el modelo cultural (que intenta autoregularse) pero que tiene efectos colaterales.

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    2. Xorx, justamente por eso existen procesos con un perfil "logístico" y otros con perfil "presa-predador".

      No todo es crecimiento o decrecimiento exponencial en la vida !!

      :-)

      Más avanzo en los comentarios y más creo que la selección de temas que hizo Luis Cosin esta vez ha sido BRILLANTE.

      No digo que lean las FORMULAS (en mi caso no tengo NI IDEA lo que dicen o cómo se usan) pero, atiendan los CONCEPTOS que los VAN A NECESITAR TODA SU VIDA y en MULTIPLES OCASIONES.

      Una vez más: Grande Cosin !

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  15. Mientras esperamos los gráficos del artículo, os dejo un link (con Java, en inglés) muy entretenido y útil, especialmente para no matemáticos:

    http://mathinsight.org/applet/lotka_volterra_versus_time_population_display

    En él se puede ver cómo evolucionan en el tiempo las poblaciones de presas y depredadores. Podemos jugar con los parámetros (sin necesidad de saber ecuaciones diferenciales) y ver que en cuanto nos salimos de unos valores de equilibrio, una especia u otra acaba pereciendo primero, y finalmente las dos.

    Muy intuitivo y revelador. Quizá nuestros políticos deberían jugar con este applet en los iPads comprados con nuestro dinero...

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    Respuestas
    1. Marcos:

      Tanto coincido contigo que, soy de la idea que NADIE podría presentarse a CANDIDATO -salvo los humildes concejales de pueblo- sin demostrar antes que manejan muy a fondo:

      - Tasas de interés simple y compleja.
      - Modelos, funciones y fórmulas del crecimiento/decrecimiento exponencial.
      - Curvas logísticas
      - Modelos Lotka-Volterra

      El que no pase por estas sencillas pruebas NO PUEDE ocupar un cargo público.

      El mundo sería un lugar MUY diferente sin duda.

      Ah!, les haría leer dos o tres libros sobre hiperinflaciones además.

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    2. Y ahora si, de modo autónomo -aunque lo hice antes en varias respuestas-.

      Luis Cosin:

      Si hubiera podido pedir un regalo de Navidad hubiera sido ESTE TEMA !!

      :-)

      - Que se puede hacer mejor ?, tal vez.
      - Que puede tener más grafiquitos y una peliculita ?, tal vez.

      Pero has seleccionado el A-B-C de la matemática que cualquier persona que trabaja con recursos necesita.

      Desde ya esto es básico para los ingenieros y más que comprensible para físicos y matemáticos pero, para el resto de los que venimos de otras disciplinas, recibir esta clase, es como ganarse un auto en una rifa.

      Muchas, muchas gracias. Temazo épico.

      Muchos lo apreciarán recién con el correr de los años.

      ===

      PD (en broma)

      Si este blog fuera SERIO, el tema de apertura, su primer mensaje, tendría que haber sido este.

      :-D

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    3. Luis Cosín Ayerbe29 de enero de 2013, 20:27

      Gracias, Darío. Se hace lo mejor que se puede, en el espacio limitado de un post y tratando de no irse demasiado por las ramas!

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    4. Estimados todos.
      Pues a mí me ha parecido muy interesante el post, aunque me ha costado seguir el discurso, mucha matemática ya casi olvidada, buen post y de los que se deben guardar.
      Estimado Darío .
      Los políticos no se manejan con el pensamiento lógico, no pidas peras al olmo, los lideras son los que deben saber oír y asesorarse por los que pueden ofrecer conocimientos , pero finalmente la toma de decisiones se debe más a una visión de conjunto matizada por la intuición que a un acto reflexivo sobre el pensamiento lógico.
      otra cosa deberían ser los estadistas, un gran estadista es más importante que un líder natural a la visión de conjunto ha de unirle la visión de futuro , saber discernir entre varias opciones y saber elegir la mejor para el conjunto de la sociedad. , los políticos que conocemos se manejan con el inmediatismo, con las mentiras o con las medias verdades y con la utilización de los hechos y realidades en forma sesgada.
      Por cierto acabo de echar un vistazo a un artículo que me parece un temazo, creo que nadie lo ha colocado aún

      http://ftalphaville.ft.com/files/2013/01/Perfect-Storm-LR.pdf

      saludos

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  16. Ante las quejas de algunos foreros se me ocurre que el caso de recursos no renovables se puede explicar así:

    Ecuación 1:S’ = D’ - P’ (III)
    Se trata de un principio de conservación: El petroleo está o bién en barriles (Stock) o bién en productos refinados (Productos) o bién está por sacar, en el fondo de un pozo de petróleo (Descubrimiento). Si hay un aumento del Stock y un aumento de los Productos, esto no puede venir de la nada.

    Ecuación 2 : D’ = d ( Y – D ) (I)
    Se trata de una relación probabilista, todos los descubrimientos se consideran iguales y con la misma probabilidad de ser descubiertos. Como un juego del bingo en el que cada número se vuelve a meter en el bombo. A medida que se van cubriendo números en la tarjeta es mas difícil que salga el número que nos falta: los descubrimientos van siendo menores a medida que el tiempo pasa.

    Ecuación 3 : P’ = p S (II)
    El sistema de producción tiende a minimizar el Stock, de modo que solo hay grandes Stocks cuando se prevee un gran aumento en la producción. Esto puede considerarse como una hipótesis de eficiencia productiva.

    A partir de esto, el resto es habilidad matemática, es decir, un tipo de manipulación o arte "mecánico" que extrae conclusiones necesarias de las ecuaciones anteriores. Las conclusiones son muy importantes por que sirven para validar el modelo. Pero también es importante comprender las hipótesis de partida.

    Mike.

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    1. Mike.
      ¿Puedes ilustrar un poco más el razonamiento que subyace a la ecuación 3?

      Gracias

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    2. Me parece que llego un poco tarde pero ahí va.

      La ecuación 3 tal vez sea la que mas problemas presenta, ya que habla de la relación entre producción y stock. En principio la dinámica de producción depende de la "ley de oferta y demanda", del mercado, la especulación, la política... Así no es raro ver que se aumentan artificialmente los stocks de alguna materia prima para aumentar el precio, o como protesta por los bajos precios se tiran alimentos. O como consecuencia de alguna guerra, terrorismo etc se pierden stocks que nunca llegan a producción.

      En principio todo esto se puede modelizar suponiendo que en la ecuación 3 el factor p depende del tiempo: p(t), es decir, la eficiencia productiva no es constante. Sin embargo podemos tomar para nuestro modelo un valor promedio constante y ver que consecuencias tiene esto.

      Mike.

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  17. ---

    Como siempre, excelente post didáctico de Luis Cosin.

    Como siempre, también, sigo sin comprender que, en un blog con claro afán divulgativo, siga cuestionándose la publicación de posts didácticos como este: prometo solemnemente que jamás comprenderé tal tipo de quejas, es como si alguien se lamentase de que, en un partido de tenis, por decir algo, los contendientes se estén esforzando al máximo, o están dando excesivo espectáculo, porque, con dirigis la atención hacia otra cosa...

    Y en cuanto al giro que ha tomado la zona de comentarios, mucho más técnica y de elevado nivel de formación de los partícipes, pues no me parece mal, ¿por qué no?, pues todo el mundo tiene derecho a poder contar con sus "nichos" específicos en los que poder profundizar en aquellas cosas, y desde los puntos de vista o ángulos o metodologías de argumentación que le sean más propios y propicios.

    Ahora, la metodología seguida para ello, los medios, vaya, ahí ya tengo mis muy severas discrepancias respecto a que se hayan seguido los cauces o procedimientos más idóneos, pero bueno, la historia ya está escrita.

    saludos cordiales.
    forrest gump sandín.
    ..

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  18. El acceso a los productos se va encareciendo cada vez mas

    http://www.publico.es/espana/449798/cortan-la-luz-al-gobierno-de-melilla-por-acumular-una-deuda-de-casi-2-millones

    http://sociedad.elpais.com/sociedad/2013/01/29/actualidad/1359492181_655588.html

    Mike.

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  19. Pues eso, que creo que el rey va desnudo... y mientras, el pueblo elogia los trajes del rey¡¡¡ algunos hasta el punto que me producen ganas de vomitar¡
    Mi tema han sido los caballos, tengo literatura del tema hasta la locura... hay uno muy especial: "Aptitudes del caballo, según la cola"... lo tengo como claro ejemplo de que a todos y en todo, vemos al rey con sus mejores galas, estando desnudo.
    La vanidad, qué mala que es¡

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    Respuestas
    1. Es este comentario un gesto de agradecimiento al autor del post.
      Pertenezco al nutrido segmento de universitario de ciencias pero no ajeno a las humanidades ( intuyo y compruebo que es un perfil habitual entre los lectores que se encuentran comodos en este blog) que tuvo que pasar por las ecuaciones difereneciales sin pena ni gloria ni excesiva curiosidad a pesar de reconocer su importancia.

      Artículos como éste amortizan el esfuerzo del estudio de entonces y lo actualizan de un modo brillante.

      Gracias de nuevo Sr. Cosín.

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