Matemática del crecimiento y del decrecimiento

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Imagen de http://theragblog.blogspot.co.uk

Queridos lectores,

El siempre eficaz Luis Cosin me envió hace semanas este post. Es bastante técnico, pero permite ilustrar con ecuaciones y modelos sencillos la realidad de nuestro paradigma. Se puede buscar complicada retórica para enmascarar las cosas, pero al final el proceso sigue una lógica implacable.

Espero que les resulte tan interesante como a mi.

Salu2,
AMT

Dinámicas de crecimiento y decrecimiento

 
Las técnicas de modelización mediante sistemas dinámicos permiten construir modelos de la realidad y hacer estimaciones razonables sobre su comportamiento futuro.

Actualmente son una herramienta indispensable en la toma de decisiones.

En este artículo, vamos a discutir varios de los modelos dinámicos empleados más frecuentemente para describir fenómenos naturales y sociológicos.

Quien esté interesado en la parte matemática, puede ver el desarrollo en el anexo.

1. Crecimiento exponencial

Cuando la tasa de crecimiento de una magnitud es proporcional a la cantidad existente (es decir, cuando, de alguna manera, todos los elementos existentes contribuyen al crecimiento):

y’ = k y

Con k la tasa de crecimiento, el crecimiento de esa magnitud tiene forma exponencial (ver anexo 1):

y = y_o e^kt

Con y_o el valor en el momento inicial t = 0. A continuación, mostramos un ejemplo de gráfica de crecimiento exponencial con y_o=1 y una tasa del 5%: 

 

Se llama periodo de duplicación al tiempo necesario para que y(t) se duplique. Es decir, es el periodo p de modo que:

y(t+p) = 2 y(t)

Sustituimos:

y_o e^k(t+p) = 2 y_o e^kt

Cancelando y_o y por propiedades de los exponentes:

y_o e^kt e^kp = 2 y_o e^kt

Cancelando el factor y_o e^kt a ambos lados:

e^kp = 2

es decir, el periodo de duplicación es:

p = ln(2) / k ~ 0,69 / k.

Por ejemplo, si la tasa de crecimiento es de un 5%, entonces k = 0,05 y el periodo de duplicación es p = 0,69 / 0,05 = 13,8.

Como regla mnemotécnica aproximada puede usarse la siguiente (regla 10/7):

“Una tasa de crecimiento del 10% supone duplicar cada 7 unidades de tiempo”

El crecimiento exponencial se observa en la naturaleza cuando hay retroalimentación (cada elemento contribuye al crecimiento posterior) y aún no actúan restricciones (por ejemplo, crecimiento inicial de una colonia de bacterias o expansión de una epidemia).

2. Decrecimiento exponencial

El decrecimiento exponencial es una situación completamente análoga: se da cuando la tasa de disminución de una magnitud es proporcional a las existencias.

y’ = - k y

con k (positivo) la tasa de decrecimiento. En este caso, la curva tiene forma de exponencial inversa (ver anexo 2):

y = y_o e ^–kt

Con y_o el valor en el momento inicial t = 0. Por ejemplo, para una cantidad inicial y_o = 100 y una tasa de decrecimiento del 5%:

Se llama periodo de semiagotamiento (o semidesintegración) al tiempo que tarda la cantidad existente en reducirse a la mitad.

Es decir, es el periodo p de modo que:

2 y(t+p) = y(t)

Sustituimos:

2 y_o e^-k(t+p) = y_o e^-kt

Por propiedades de los exponentes:

2 y_o e^-kt e^-kp = y_o e^-kt

Cancelando el factor y_o e^kt en los dos miembros:

2 e^-kp = 1

es decir, al igual que en el caso del crecimiento exponencial:

p = - ln(1/2) / k ~ 0,69 / k

Si la tasa de decrecimiento es de un 5%, entonces k = 0,05 y el periodo de semiagotamiento es p = 0,69 / 0,05 = 13,8.

Como regla mnemotécnica aproximada puede usarse la siguiente (regla 10/7):

“Una tasa de decrecimiento del 10% supone reducir a la mitad cada 7 unidades de tiempo”

Experimentalmente, se encuentran decrecimientos exponenciales en fenómenos naturales como la desintegración de núcleos atómicos, y en la tasa de descubrimiento de nuevos yacimientos de un recurso finito (cuando la tasa de nuevos descubrimientos puede ser aproximada a una proporción de “lo que queda por descubrir”).

3. Crecimiento logístico

Normalmente, el crecimiento de una magnitud es exponencial en la ausencia de restricciones, pero cuando éstas se manifiestan, lo hacen disminuyendo la tasa a medida que ésta se aproxima a un máximo admisible.

El crecimiento logístico es una combinación de crecimiento y decrecimiento exponenciales. Un ejemplo característico es la curva logística, que es la solución de la ecuación de Verhulst:

y’ = k y (1 – y/r)

Con k la tasa de crecimiento “libre de restricciones”, y r el máximo admisible.

Para y mucho menor que r, el crecimiento es el máximo posible (tasa k), pero a medida que y se va aproximando a r, éste va disminuyendo hasta hacerse 0.

En este caso, la curva tiene la siguiente forma (ver anexo 3):

y = r / ( 1 + ( r/y_o – 1 ) e^-kt )

Con y_o el valor en el momento inicial t = 0. Por ejemplo, tomando un máximo de r = 100, un valor inicial y_o=1 y un crecimiento libre de restricciones k = 5% tenemos la siguiente gráfica característica:

En este modelo hay un punto característico, llamado punto de inflexión, en el que la curva deja de ser cóncava para ser conveza. Corresponde al momento en que la segunda derivada (la “aceleración” de y) es 0. Es decir:

0 = y’’ = k y’ (1 – y/r) – k y y’/r = k y’ – 2 k y y’/r = k y’ (1 – 2 y / r )

Como la derivada y’ no se anula, entonces el segundo factor debe anularse y tenemos:

y = r/2

Es decir, cundo la magnitud y alcanza la mitad de su valor máximo, el crecimiento comienza a ser más lento.

El crecimiento logístico es una generalización del crecimiento exponencial.

• Para pequeños valores, de la magnitud, se asemeja mucho al crecimiento exponencial.
• Sin embargo, a partir de un cierto punto, el crecimiento se ralentiza hasta tender a 0.

La curva logística representa aproximadamente fenómenos que se auto-limitan: propagación de rumores, la extensión de una innovación tecnológica o una epidemia: al principio estos fenómenos se propagan rápidamente, pues cada “infectado” es susceptible de traspasar el “contagio” a cualquier otro individuo que tenga contacto con él (en esta fase, el crecimiento parece exponencial), pero cuando el número de “infectados” crece, es cada vez más difícil encontrar una persona que previamente no haya estado en contacto con la “enfermedad”.

Es típica la aplicación de la ecuación logística al crecimiento poblacional según el cual:

• La tasa de reproducción es proporcional a la población existente.
• La tasa de reproducción es proporcional a la cantidad de recursos disponibles (que disminuye de forma proporcional a la población existente).

4. Un modelo para el agotamiento por uso de recursos finitos

Podemos combinar los modelos anteriores para describir el comportamiento de un recurso finito que se agota con el uso. Siguiendo la bibliografía más frecuente, llamaremos:

• S(t) (de “stock) a las existencias en el instante t
• P(t) a la producción total acumulada (por tanto, P’(t) es la producción instantánea)
• Y a los recursos totales (una constante)
• D(t) a la cantidad total descubierta acumulada hasta t (por tanto, D’(t) es la tasa de descubrimientos).

Entonces, haciendo dos sencillas hipótesis, que aproximan bastante bien la mayor parte de las situaciones reales:

• La tasa de nuevos descubrimientos es proporcional a lo que queda por descubrir, por medio de una constante d (a medida que se va descubriendo “lo más fácil” cada vez va costando más descubrir “lo más difícil”):

D’ = d ( Y – D ) (I)

• La producción instantánea P’ es proporcional al stock disponible S en cada momento, por medio de una constante p (áreas de producción grandes, con más recursos, producen más rápido que áreas más pequeñas):

P’ = p S (II)

La variación instantánea del stock S’ son entonces los nuevos descubrimientos D’ menos la producción instantánea P’:

S’ = D’ - P’ (III)

Tenemos así un sistema dinámico sencillo con tres variables (D, P y S) regido por tres ecuaciones diferenciales (I), (II) y (III). Puede demostrarse (ver el anexo 3) que la solución a este sistema es:

D(t) = Y ( 1 - e^-dt )

S(t) = ( e^-pt - e^-dt ) d Y / ( d - p )

P(t) = Y ( 1 + ( - d e^-pt + p e^-dt ) / ( d - p ) )

Por ejemplo, tomando unas existencias totales de Y = 100, una tasa de descubrimiento d = 5% (esto es como decir que prácticamente todo el recurso se descubrirá antes de 100 periodos de tiempo) y una tasa de producción p = 8% (lo que equivale a decir que en todo momento se produce a un ritmo al cual “aún queda recurso para 30 periodos”) obtenemos el siguiente gráfico (que a estas alturas ya debería ser familiar para muchos!).

La cantidad descubierta (línea roja) “tira” hacia arriba de la cantidad producida (línea morada) aunque ésta lleva un retraso de casi 20 o 30 unidades de tiempo.

Notar que las existencias (línea verde) alcanzan un máximo y luego disminuyen suavemente. Las existencias nunca superan el 30% del total.

La línea azul claro es la producción instantánea y la granate, la tasa de descubrimientos. A esta escala no se aprecian muy bien, pero si hacemos un “zoom” obtenemos la curva de declinio clásica (la curva verde son las reservas y la azul claro, la producción):

Hacemos un zoom aún mayor para ver en detalle las curvas de descubrimientos y producción:

En su modelo, Hubbert predice una producción mayor en el pico (y, consecuentemente, una caída más abrupta), aunque la forma de la curva no es exactamente una “campana” sino una “beta” que se “estira” hacia la derecha. La “beta” y la exponencial inversa (agotamiento exponencial) son las curvas de declinio más típica observada en minas y pozos de petróleo y gas.

Una conclusión interesante de este modelo es que se puede calcular fácilmente el máximo de producción (y de las reservas) en función de los recursos totales, la tasa de descubrimientos y la tasa de producción.

Es el momento en que P’ = pS deja de crecer, es decir, cuando su derivada P’’ = 0 Pero:

0 = P’’ = p S’= p ( D’ - P’ ) = p ( d ( Y – D ) – P’ )

Es decir, la condición de máximo es:

P’ = d ( Y – D ) = D’

El máximo ocurre exactamente cuando la tasa de descubrimientos iguala a la producción instantánea (en el gráfico, ocurre cuando las líneas azul claro y granate se cruzan). Técnicamente, esto ocurre cuando se dejan de poder remplazar todas las reservas consumidas. A partir de ahí, ya no hay vuelta atrás.

En el ejemplo mostrado, en ningún momento se produce más del 2,3% del total de existencias.

A modo de curiosidad, muestro aquí los datos numéricos:

t	D	D'	S	P	P'
0	0,00	5,00	0,00	0,00	0,00
1	4,88	4,76	4,69	0,19	0,37
2	9,52	4,52	8,78	0,73	0,70
3	13,93	4,30	12,35	1,58	0,99
4	18,13	4,09	15,43	2,70	1,23
5	22,12	3,89	18,08	4,04	1,45
6	25,92	3,70	20,34	5,58	1,63
7	29,53	3,52	22,25	7,28	1,78
8	32,97	3,35	23,84	9,13	1,91
9	36,24	3,19	25,15	11,09	2,01
10	39,35	3,03	26,20	13,15	2,10
11	42,31	2,88	27,03	15,28	2,16
12	45,12	2,74	27,65	17,47	2,21
13	47,80	2,61	28,10	19,70	2,25
14	50,34	2,48	28,38	21,96	2,27
15	52,76	2,36	28,53	24,23	2,28
16	55,07	2,25	28,55	26,52	2,28
17	57,26	2,14	28,46	28,80	2,28
18	59,34	2,03	28,27	31,07	2,26
19	61,33	1,93	28,00	33,32	2,24
20	63,21	1,84	27,66	35,55	2,21
21	65,01	1,75	27,26	37,75	2,18
22	66,71	1,66	26,80	39,91	2,14
23	68,34	1,58	26,30	42,03	2,10
24	69,88	1,51	25,76	44,12	2,06
25	71,35	1,43	25,19	46,15	2,02
26	72,75	1,36	24,60	48,15	1,97
27	74,08	1,30	23,99	50,09	1,92
28	75,34	1,23	23,36	51,98	1,87
29	76,54	1,17	22,72	53,83	1,82
30	77,69	1,12	22,07	55,62	1,77
31	78,78	1,06	21,42	57,36	1,71
32	79,81	1,01	20,77	59,05	1,66
33	80,80	0,96	20,11	60,68	1,61
34	81,73	0,91	19,47	62,26	1,56
35	82,62	0,87	18,83	63,80	1,51
36	83,47	0,83	18,19	65,28	1,46
37	84,28	0,79	17,57	66,71	1,41
38	85,04	0,75	16,96	68,09	1,36
39	85,77	0,71	16,35	69,42	1,31
40	86,47	0,68	15,76	70,70	1,26
41	87,13	0,64	15,18	71,94	1,21
42	87,75	0,61	14,62	73,13	1,17
43	88,35	0,58	14,07	74,28	1,13
44	88,92	0,55	13,53	75,39	1,08
45	89,46	0,53	13,01	76,45	1,04
46	89,97	0,50	12,51	77,47	1,00
47	90,46	0,48	12,01	78,45	0,96
48	90,93	0,45	11,54	79,39	0,92
49	91,37	0,43	11,08	80,30	0,89
50	91,79	0,41	10,63	81,16	0,85
51	92,19	0,39	10,20	82,00	0,82
52	92,57	0,37	9,78	82,79	0,78
53	92,93	0,35	9,37	83,56	0,75
54	93,28	0,34	8,98	84,30	0,72
55	93,61	0,32	8,61	85,00	0,69
56	93,92	0,30	8,25	85,67	0,66
57	94,22	0,29	7,90	86,32	0,63
58	94,50	0,28	7,56	86,94	0,60
59	94,77	0,26	7,24	87,53	0,58
60	95,02	0,25	6,93	88,10	0,55
61	95,26	0,24	6,63	88,64	0,53
62	95,50	0,23	6,34	89,16	0,51
63	95,71	0,21	6,06	89,65	0,49
64	95,92	0,20	5,80	90,13	0,46
65	96,12	0,19	5,54	90,58	0,44
66	96,31	0,18	5,30	91,01	0,42
67	96,49	0,18	5,06	91,43	0,41
68	96,66	0,17	4,84	91,82	0,39
69	96,83	0,16	4,62	92,20	0,37
70	96,98	0,15	4,42	92,56	0,35
71	97,13	0,14	4,22	92,91	0,34
72	97,27	0,14	4,03	93,24	0,32
73	97,40	0,13	3,85	93,55	0,31

5. Modelos de predador-presa

Son modelos aplicables a recusos renovables, donde un recurso que se autoregenera (que podemos asimilar a la “presa”) crece cuando el consumidor (que podemos asimilar a”predador”) retrocede y decrece cuado el consumidor crece.

Si llamamos S a la cantidad o “stock” del recurso (presa) y C a la cantidad del consumidor (predador) en cada instante t, uno de los modelos más exitosos a la hora de predecir fenómenos observables se debe a Lotka y Volterra.

Realmente, se trata de una generalización del crecimiento logístico. Se asume que:

• Para la presa, el crecimiento es proporcional a la cantidad existente S y es frenado por la cantidad de predadores C:

S’ = d S ( 1 – C/e)

El factor d es la tasa de crecimiento “libre de predadores” y e es la cantidad de predadores a partir de la cual la tasa de crecimiento se hace negativa.

• Para el predador, el decrecimiento es proporcional a la cantidad de competencia (predadores) y es suavizado por la cantidad de presas:

C’ = - f C ( 1 – S/g )

El factor f es la tasa de decrecimiento “libre de presas” y g es la cantidad de presas a partir de la cual la tasa de crecimiento se hace positiva.

Es duro ser presa, pero más duro aún es ser predador!

En general, estas ecuaciones tienen una solución, pero no es analítica (es decir, la solución no se puede expresar con una fórmula como en los ejemplos anteriores), pero sí pueden usarse métodos numéricos en una hoja de cálculo para obtener aproximaciones:

Una característica de las soluciones de la ecuación es que tienen un carácter aproximadamente cíclico (ambos valores oscilan en un rango máximo y mínimo). Por ejemplo, para d = 0,05 (tasa de crecimiento del 5%), e = 15 (número máximo sostenible de predadores), f = 0,1 (tasa de mortalidad de predadores del 10%) y g = 60 (número mínimo de presas necesarias para que la población de predadores se estabilice), tenemos:

El carácter cíclico y la presencia de atractores se ve mejor representando la evolución de C y S conjuntas (presas en eje horizontal y predadores en eje vertical):

El sistema de Lotka-Volterra se ha ropuesto como modelo de los ciclos económicos cuando hay un factor limitante (por ejemplo, la oferta monetaria o el suministro energético).

ANEXOS

Anexo 1: Ley de crecimiento exponencial

Si:

y’ = k y

Dividiendo por y ambos miembros:

y’ / y = k

E integrando:

ln(y) = kt + c

De donde:

y = e^kt+c

Si asumimos que en el momento inicial t = 0 el valor es y_o entonces c = ln(y_o).

y = y_o e^kt

Anexo 2: Ley de decrecimiento exponencial

Si:

y’ = - k y

Dividiendo por y ambos miembros:

y’ / y = - k

E integrando:

ln(y) = - kt + c

De donde:

y = e^-kt+c

Si queremos que el valor inicial t = 0 la cantidad inicial sea y_o, entonces c = ln(y_o), o bien:

y = y_o e ^–kt

Anexo 3: Ley de crecimiento logístico

Si:

y’ = k y (1 – y/r)

Hacemos el cambio de variable z = y/r. Entonces:

r z’ = k r z ( 1 – z )

Cancelamos el factor r a ambos lados:

k z ( 1 – z ) = z’

Dividimos por z ( 1 – z ):

k = z’ / z ( 1 – z )

Teniendo en cuenta que:

-k = - z’ / ( 1 – z ) - z’ / z = ln ( 1 – z )’ – ln( z )’

Integrando ambos lados:

-kt + c = ln( 1 – z ) - ln( z ) = ln ( ( 1 – z ) / z )

Tomando exponenciales:

e^-kt+c = ( 1 – z ) / z = 1/z – 1

Es decir:

z ( 1 +e^-kt+c ) = 1

z = 1 / ( 1 + e^-kt+c )

Deshacemos el cambio de variable:

y = r z = r / ( 1 + e^-kt+c )

Si el valor en el instante t=0 es y_o, entonces podemos tomar c = ln( r/ y_o – 1 ), es decir:

y = r / ( 1 + ( r/y_o – 1 ) e^-kt )

Anexo 4: Ley de agotamiento de recursos finitos

Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

D’ = d ( Y – D ) (I)

P’ = p S (II)

S’ = D’ - P’ (III)

Vamos a simplificarlo. Sustituyendo (II) en (III):

D’ = d ( Y – D ) (I)

S’ = D’ - p S (III)

La ecuación (I) podemos rescribirla así:

D’ / ( Y – D ) = d

- ln ( K – D )‘ = - d

Integrando:

Y – D = e^{-dt + c}

Es decir:

D = Y - e^{-dt + c}

Puesto que D(0) = 0 (al principio, asumimos que no se ha descubierto nada aún) tenemos:

0 = Y - e ^c

es decir, c = ln(Y), de donde:

D(t) = Y ( 1 - e^-dt )

Sustituyendo en (III):

S’ = D’ - p S = d Y e^-dt - p S

S’ + p S = d Y e^-dt

Derivamos ambos lados:

S’’ + p S’ = - d² Y e^-dt

Cancelamos los términos a la derecha (multiplicando la primera ecuación por d y sumando miembro a miembro):

( S’’ + p S’ ) + d (S’ + p S ) = 0

Es decir:

S’’ + ( p + d ) S’ + pd = 0

Obtenemos una ecuación diferencial lineal, que podemos expresar así (∂ el operador “derivada respecto de t”):

( ∂ + p ) ( ∂ + d ) S = 0

Y cualquier solución a este sistema (que tiene polinomio característico (X+p)(X+d)) es de la forma:

S = u e^-pt + v e^-dt

Con u y v cualesquiera. Imponemos las restricciones. S(0) = 0 por lo que:

0 = u + v

Y entonces:

S = u ( e^-pt - e^-dt )

Además,

S’ = d Y e^-dt - p S

Sustituyendo:

u ( -p e^-pt + d e^-dt ) = d Y e^-dt - p u ( e^-pt - e^-dt )

Cancelamos términos a ambos lados:

d u e^-dt = d Y e^-dt + p u e^-dt

Y dividimos por e^-dt para obtener una expresión de u:

d u = d Y + p u

u = d Y / ( d - p )

Lo que nos da la expresión para S:

S(t) = ( e^-pt - e^-dt ) d Y / ( d - p )

Por último, tenemos la tasa de producción:

P’ = p S = ( e^-pt - e^-dt ) p d Y / ( d - p )

Integrando:

P = ( - e^-pt /p + e^-dt / d ) p d Y / ( d - p ) + c

Es decir:

P = ( - d e^-pt + p e^-dt ) Y / ( d - p ) + c

Como P(0) = 0 (la producción inicial es 0):

0 = ( - d + p ) Y / ( d - p ) + c = -Y + c

De donde:

c = Y

Y tenemos finalmente:

P(t) = Y ( 1 + ( - d e^-pt + p e^-dt ) / ( d - p ) )

Anexo 5: Leyes de Lotka y Volterra

Si tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

Y’ = p Y – q YC = Y ( p – q C)

C’ = r YC – s C = C ( rY – s )

Reordenamos:

Ln(Y)’ = Y’/Y = p – q C

Ln(C)’ = C’/C = r Y – s

Referencias:

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_log%C3%ADstica

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_Lotka%E2%80%93Volterra

http://html.rincondelvago.com/modelo-matematico-de-lotka-volterra.html