Me encuentro lejos de España, pero una vez más Luis Cosin toma el relevo. Cuidado con su artículo: comienza como una clase magistral de física estadística y acaba como una clase magistral de... mejor que lo vean Vds. mismos.
Salu2,
AMT
1. Estadística de Maxwell-Boltzmann
Con
el nombre de “ley” o “estadística” de Maxwell-Boltzmann se
conoce un resultado de máxima importancia en física teórica
y que, como veremos, puede ser aplicado a realidades económicas y
sociales.
Es uno de esos ejemplos de ciencia
“elegante”, ya que partiendo de unas pocas hipótesis
llega a conclusiones sorprendentes, por poco intuitivas y, además,
verificables experimentalmente.
Empecemos
por describirla en su marco natural: la física de partículas.
2. Microestados y macroestados de un sistema
Imaginemos un sistema compuesto por N
partículas indistinguibles unas de otras como pueden ser, por
ejemplo, las moléculas de un gas.
Supongamos que estas partículas se
reparten en niveles de energía discretos que llamaremos E0,
E1 ... En ... En todo momento, cada una de las
partículas ocupa alguno de los niveles (y varias partículas pueden
ocupar el mismo nivel).
Para cada nivel Ei
llamaremos ni al número de partículas en dicho nivel en
un instante dado.
- A cada posible distribución de las N partículas en los distintos niveles lo llamaremos un microestado.
- Agruparemos todos los posibles microestados que comparten el mismo número de partículas en cada nivel en un macroestado. Es decir, un macroestado es una disposición de cantidades de partículas en los niveles energéticos n0 ... ni ... Todos los microestados asociados a un mismo macroestado tienen igual número de partículas en cada nivel energético.
Un macroestado es algo observable
(basta con contar las partículas en cada nivel) mientras que un
microestado no lo es (ya que las partículas son
indistinguibles unas de otras).
Por ejemplo, en el gráfico
siguiente, que representa el caso de 3 moléculas en un sistema con
energía total 3, existen:
- 10 microestados posibles
- y 3 macroestados posibles (cada una de las filas)
Notar que la suma de energías de
todos ellos es 3:
La energía asociada a un microestado
particular será entonces la suma de las energías de cada
partícula:
E = Σi ni ·
Ei
El símbolo Σ se lee “suma” y la
expresión anterior es la suma de todos los productos ni ·
Ei (número de partículas en cada nivel por la energía
de cada nivel).
3. Hipótesis básicas
Para
que la estadística de Maxwell-Boltzmann sea aplicable a un sistema,
tendremos que hacer 3 hipótesis muy sencillas:
- El número de partículas, ni, en cada nivel de energía Ei es elevado.
- El sistema es aislado, es decir, no intercambia energía ni materia con el exterior. Entonces, son constantes:
E
= Σi ni · Ei
N
= Σi ni
- Las partículas del sistema realizan entre ellas intercambios de energía aleatorios, de suma cero y sin una preferencia determinada, es decir, todos los microestados con una energía total E son equiprobables.
Bajo
estas tres sencillas condiciones, el macroestado más probable (es
decir, aquél que tiene un mayor número de microestados posibles)
corresponde a una distribución exponencial inversa.
ni
= R · exp( -βEi
)
Si
la representamos con la energía en abscisas (horizontal) y el número
de partículas en ordenadas (vertical) obtenemos el siguiente
gráfico:
Es
decir, el número de partículas en un nivel disminuye rápidamente a
medida que aumenta Ei.
- El factor β mide cuán rápido desciende la población de los niveles al aumentar Ei. A mayor valor de β, menor número de partículas de alta energía.
- Y el factor de proporcionalidad R se ajusta para que se cumpla la restricción sobre el número total de partículas N.
La
deducción es bastante sencilla y puede verse en el anexo.
Si
además asumimos que hay muchos niveles y están muy juntos unos
de otros y espaciados regularmente, entonces:
β
= 1 / kT
Con
T la energía media de las partículas, que no es otra
cosa que la temperatura del sistema, y k la constante de
Boltzmann (que depende de las unidades en las que se mida la
temperatura y la energía).
A mayor temperatura, por tanto, menor es el valor
absoluto de β y mayor la dispersión (más
partículas en los niveles altos de energía).
Más aún, se demuestra fácilmente
(ver anexo) que la entropía del sistema, S, es entonces:
S
= k ln(M)
Con
M el número de microestados posibles. Es decir, la entropía es
una medida del “desorden” del sistema. A mayor número de
microestados posibles, M, mayor entropía, S.
Esta
observación fue hecha por primera vez por Boltzmann.
4.
Y esto ¿qué tiene que ver con la economía?
Las
3 hipótesis que necesita la estadística de Maxwell-Boltzmann son
muy básicas y es fácil pensar en otros entornos donde se cumplen
con suficiente aproximación, no sólo en la física de partículas.
Existe
controversia sobre si esta estadística puede ser aplicada a las
ciencias sociales. El matemático Benjamin Peirce definió las
matemáticas como "la ciencia que señala las conclusiones
necesarias".
Debemos
asumir entonces que, si en un entorno se cumplen las hipótesis, las
conclusiones son aplicables a dicho entorno.
Si
en la discusión anterior, sustituimos “partículas” por
“individuos” y “energía” por “riqueza”, las tres
hipótesis se convierten en:
- El número de individuos, ni, en cada nivel de riqueza Ei es elevado.
- El sistema es aislado, es decir, no intercambia riqueza ni indivíduos con el exterior.
- Los individuos del sistema realizan entre ellos intercambios de riqueza aleatorios, de suma cero y sin una preferencia determinada.
Estamos
hablando, pues, de un “mercado no regulado” o “mercado natural”
(distinguir de “libre mercado”).
En
estas tres hipótesis, la estadística de Maxwell-Boltzmann nos dice
que necesariamente la distribución de la riqueza más
probable es exponencial inversa.
Es
decir, en forma de la clásica pirámide de renta puntiaguda.
ni
= R · exp( -βEi
)
Y
si el número de niveles es alto, el coeficiente es β = 1 / kT con
T la riqueza media.
Conclusión
1: En mercados no regulados y con intercambios aleatorios de
suma cero, la riqueza tiende a distribuirse de forma piramidal, más
puntiaguda (es decir, más desigual) cuanto mayor sea la riqueza
media (o “temperatura”).
Empíricamente,
y como aproximación, suele hablarse de “Leyes de Pareto”. Por
ejemplo, “el 20% de los individuos controla el 80% de los
recursos y viceversa”.
5.
Bueno, pero hemos asumido que no hay intercambios con el exterior...
Si
mantenemos el número de partículas constante, cuando un sistema
recibe una cantidad de calor q, aumenta la energía interna, y por
tanto la energía media o temperatura, T.
En
el equilibrio predicho por la estadística de Boltzmann:
β
= 1 / kT
disminuye
al aumentar T y, por tanto, aumenta la dispersión. De nuevo, si
sustituimos “energía” por “riqueza”, y sin ánimo de ser
polémico:
Conclusión
2: En mercados no regulados con intercambios aleatorios de suma
cero, cuando se produce un aumento de la riqueza media, los
segmentos más ricos perciben aumentos mayores de su patrimonio
(tanto en términos absolutos como proporcionales) que los menos
ricos.
En
el fondo, es la clásica observación que todos podemos haber hecho
alguna vez: en ausencia de mecanismos de redistribución, a pesar que
la riqueza aumente, los patrimonios más bajos crecen más despacio
en términos proporcionales y absolutos, que los más altos.
6. ¿Y el crecimiento? ¿y la movilidad social?
Cuando
un sistema recibe una cantidad de calor q a una temperatura T, sin
variar el número de partículas, su entropía (“desorden interno”)
aumenta en:
Δ S
= q/T = kqβ
A
medida que la temperatura va aumentando, los incrementos de entropía
que produce la misma cantidad de energía q son cada vez menores (β
va disminuyendo).
Si
asimilamos “entropía” (que es movilidad de partículas entre
niveles) a “movilidad social”:
Conclusión
3: En mercados no regulados con intercambios aleatorios de suma
cero, a medida que la riqueza aumenta, el efecto de incremento de la
movilidad social asociado a ese incremento de la riqueza disponible
es cada vez menor (de hecho, es inversamente proporcional a la
riqueza media).
Referencias:
ANEXO: DEDUCCIÓN DE LA ESTADÍSTICA DE MAXWELL-BOLTZMANN
Para
quien esté interesado, damos a continuación la justificación de
los argumentos expuestos más arriba.
A.1. Deducción de la estadística de Maxwell-Boltzmann
Dentro
de un nivel Ei con ni partículas, puede haber
ni! posibles disposiciones de las mismas, donde ni!
se llama factorial de ni y es una forma
abreviada de escribir:
ni!
= ni · (ni – 1) · (ni - 2) ·
... · 2 · 1
Esto
fácil de entender:
- elegimos la primera partícula de la permutación entre las ni posibles,
- la siguiente habrá que elegirla entre las ni – 1 restantes,
- ... y así sucesivamente hasta que las agotamos todas.
Se
dice que ni! es el número de posibles permutaciones de
las ni partículas dentro del nivel Ei.
Si
tenemos N partículas distribuidas con ni en cada nivel
Ei, el número total M de microestados
(permutaciones de los partículas) que no alteran la disposición en
niveles será entonces:
M(n1
... ni ...) = n1! · ... · ni! ·
... = Πi ni!
Donde
Π simboliza “producto”. Es decir, es el producto de los
factoriales de los ni.
Para simplificar los cálculos con
factoriales (que son bastante farragosos), usaremos logaritmos. Los
logaritmos tienen la propiedad interesante de transformar
multiplicaciones en sumas y potencias en multiplicaciones.
ln (a · b) = ln(a) + ln(b)
ln( ab
) = b · ln(a)
La función inversa del logaritmo es
la exponencial: ln( exp(a) ) = a.
Haremos uso de la aproximación de
Stirling para el logaritmo natural del factorial de números
grandes:
ln(n!)
≅ n ( ln(n) – 1 ) para n grande
Como
la función logarítmica es convexa, da igual maximizar una función
f que su logaritmo, ln(f).
Tomamos
entonces logaritmos en la expresión de M y usamos la aproximación
de Stirling:
ln(M)
= ln( Πi
ni!
) = Σi
ln(ni)
≅
Σi
ni
( ln(ni)
– 1 )
Queremos
determinar el máximo de la expresión anterior, sujeto a las
restricciones:
G
= Σi ni · Ei –
E = 0
Aplicamos
entonces el teorema del máximo: Existen multiplicadores α y β >
0 de modo que se cumplen las siguientes igualdades entre derivadas
parciales:
(
∂ln(M)/∂ni
)
= - α ·(
∂F/∂ni
) – β ·(
∂G/∂ni
)
Es
decir, sustituyendo:
(
ln(ni) – 1 ) + 1 = - α
·( 1 ) – β ·(
Ei )
Despejando:
ni
= exp( -α -βEi
) = exp( -α ) · exp( -βEi
) = R · exp( -βEi
)
Es
decir, la distribución con mayor número de microestados (la
más probable), es exponencial inversa.
Es
decir, R y β se eligen de modo que se cumplan las dos restricciones
sobre energía y número de partículas del sistema:
N
= Σi
ni =
Σi R
exp( -βEi
) = R · Σi exp(
-βEi )
E
= Σi
Ei ni
= Σi Ei·R·exp(
-βEi )
= R · Σi Ei
exp( -βEi )
Si
despejamos R en la primera expresión:
R
= N / Σi exp(
-βEi )
Y
la sustituimos en la segunda, obtenemos la ecuación que debe cumplir
el parámetro β en función de N y E:
E
· Σi exp(
-βEi )
= N · Σi Ei
exp( -βEi )
O
bien, reordenando y dividiendo por N:
Σi
( E/N – Ei
) exp( -βEi )
= 0
A.2.
Interpretación estadística de la temperatura
El cociente E/N = t es la energía media por partícula, que podemos llamar “temperatura absoluta”.
Entonces:
Σi
( t – Ei
) exp( -βEi
) = 0
De
donde deducimos que β no depende del número de partículas, sino
sólo de su energía media T y de la distribución de niveles de
energía Ei.
Un
caso especial interesante se da cuando hay muchos niveles y están
muy juntos, espaciados regularmente.
Si
asumimos que:
Ei
= e·i
Donde e es el “salto cuántico”
de un nivel energético al siguiente, entonces:
0
= Σi (t
– ei) exp( -βei
) = t Σi
exp( -βe
)i –
e Σi i
exp( -βe )i
Que son dos sumas de potencias y se
pueden expresar analíticamente (ver la nota más abajo):
0
= t (1 - exp( -βe
))-1 –
e (1 - exp( -βe
))-2
Multiplicando
ambos términos por (1 - exp( -βe ))2:
0
= t (1 - exp( -βe
)) – e
Obtenemos
una expresión para β en función de t y e. Despejando β:
β
= -e-1
· ln(1 - e/t)
Como
e es muy pequeño comparado con t (asumimos que hay muchos niveles y
una cantidad de energía apreciable en el sistema), tenemos:
β
= -e-1
· ln(1
- e/t) ≅
-e-1
·(-
e/t) = 1/t
Habitualmente,
la temperatura no se mide como “energía media por partícula”,
sino en una escala proporcional a ella, como es por ejemplo la escala
Kelvin.
En
este caso, t = kT con T la temperatura en la escala habitual y la
constante de proporcionalidad, k, se denomina constante de
Boltzmann.
Se trata de una constante fundamental
en física. Para la escala Kelvin, tiene el siguiente valor
determinado empíricamente:
k
= 1,3806504 · 10-23
J/K (Julios/Kelvin)
f(x)
= Σi≥0
xi
Entonces:
x
f(x) = Σi≥0
xi+1 =
Σi≥1
xi
Restando ambas igualdades:
f(x)
– x f(x) = 1
Es
decir
Σi≥0
xi =
f(x) = (1-x)-1
Derivando
respecto de x:
Σi≥0
i xi =
f’(x) = (1-x)-2
A.3. Interpretación estadística de la entropía
Supongamos
que tenemos un sistema con N partículas distribuidas en un
macroestado entre los diferentes niveles Ei.
ln(M)
≅
Σi
ni
( ln(ni)
– 1 )
Si aportamos al sistema una cantidad
positiva pequeña de energía:
e
= Es - Er (r < s)
De
modo que una de sus partículas la capture y “salte” del nivel Er
al Es, el nuevo valor de ln(M) será:
ln(M’)
≅
Σi≠r,s
ni
( ln(ni)
– 1 )
+ ( nr
– 1 )( ln(nr – 1) – 1 )
+ ( ns
+ 1 )( ln(ns + 1) – 1 )
Tanto
nr
como ns
son muy grandes, por lo que ln(nr)
≅ ln(nr
– 1), ln(ns) ≅
ln(ns
+ 1). Es decir:
ln(M’)
≅
Σi
ni
( ln(ni)
– 1 ) – ( ln(nr)
– 1 ) + ( ln(ns)
– 1 )
Reordenando:
ln(M’)
≅
ln(M) – ln(nr)
+ ln(ns)
Es
decir:
Δ ln(M) = ln(M’) - ln(M) Δ ln(ns)
- ln(nr)
Si
asumimos que el sistema está en equilibrio en su estado más
probable y R prácticamente no varía, entonces:
ns = R exp ( - Es/kT )
nr = R
exp ( - Er/kT
)
Y
entonces:
Δ
ln(M) ≅
( ln(R) – Es/kT
) – ( ln(R) – Er/kT
) = (Er
– Es)/kT
Pero
e = Es – Er es la
energía aportada al sistema, por lo que:
Δ
ln(M) ≅
- e /kT = ΔS
/ k
Con
Δ S
= q/T el incremento de la entropía del sistema. Es decir:
ΔS
= k · Δln(M)
O
bien, ya que ambas, S y M, son variables de estado del sistema:
S
= k ln(M)
Obtenemos
una de las ecuaciones más famosas atribuídas a Boltzmann. La
entropía es, mediando la constante de Boltzmann, proporcional al
logaritmo del número de microestados posibles.
Es
decir, la entropía es una medida del “desorden” del sistema.
Referencias:
