miércoles, 17 de octubre de 2012

Un falso Eldorado

Imagen de http://www.microplagio.com

Queridos lectores,

Desde hace algunos años es costumbre que la Agencia Internacional de la Energía (AIE) saque alguna noticia de corte positivo un poco antes de la publicación de su informe anual, el World Energy Outlook (WEO, el cual este año está previsto que salga a la luz el 12 de Noviembre; cuando llegue haremos, como siempre, cumplida glosa de su contenido). Hace dos años fue el fantástico futuro que le esperaba al gas natural con la explosión de la explotación masiva del gas de esquisto en los EE.UU.; el año pasado el énfasis se puso en las buenas perspectivas que había para un crecimiento de la producción y consumo de energía renovable... Estas promesas de un futuro brillante son sin embargo rápidamente desmentidas por la realidad: ya sabemos que el gas de esquisto es mucho más limitado de lo que se pretendía, y ni siquiera es en realidad económicamente rentable (salvo para los EE.UU., que con él exporta inflación y por tiempo limitado). En cuanto a las energías renovables, su despliegue a escala masiva afronta tantos retos (de capital, materiales, ubicaciones, potencial máximo, TRE, etc) que incluso usando tecnologías probadas se requeriría establecer una economía de guerra desde ya para después conformarse con una economía de estado estacionario que no es compatible con nuestro actual sistema económico.

Con estas noticias la AIE intenta solamente dar una imagen de normalidad y de tranquilidad, puesto que el lector medio no comprobará estos datos después de que pase el fragor mediático que acompaña a la salida del informe anual. Sin embargo, alguien que se acuerde de los anuncios de otros años, si quiera vagamente, tendrá la sensación extraña de que las fanfarrias no concuerdan, de que cada vez se dice algo diferente. Y quien rasque un poco más verá que en realidad todo ese ruido de clarines sólo pretende ocultar que no se ve nada claro hacia qué sistema podemos transitar, toda vez que lo que no nos queremos cuestionar es el propio sistema económico.


Este año la AIE sorprende con el anuncio de las excelentes perspectivas de producción de Irak en los próximos años, sacando un informe temático al respecto casi un mes antes de la publicación del WEO. Y digo que tal anuncio es sorprendente no por el maravilloso futuro que nos ofrece, sino justamente por lo magro de sus perspectivas si uno las sitúa en su justo contexto. Según dicho informe, la AIE espera que Irak sea capaz de duplicar, quizá incluso de triplicar su producción actual de aquí a 2020. En la mejor de sus previsiones, con hasta 9 millones de barriles diarios (Mb/d) en tal fecha, la AIE estima que Irak podría convertirse en el segundo productor del mundo, por delante de Rusia. Su escenario central, algo más razonable, estima que irak podría incrementar su producción hasta llegar a los 6 Mb/d en 2020 y los 8,5 Mb/d en 2035.

En una época como la actual, que en un plazo de tiempo considerado razonablemente breve un país pueda incrementar su producción de petróleo en hasta 6 Mb/d (sobre los 90 Mb/d que se están consumiendo ahora mismo), y encima de petróleo crudo (no los sucedáneos conocidos como petróleos no convencionales, que tantos problemas y limitaciones tienen) ha sido recibido con entusiasmo por la prensa,  principalmente por la prensa económica. El matiz es importante: la prensa generalista no está demasiado al tanto de los problemas con el petróleo, centrada como está en la crisis económica sin entender que en buena medida ésta está siendo ya arrastrada por la energética. Sin embargo, los cenáculos económicos hace tiempo que son conscientes de que hay un problema real con la energía y empiezan a prestar más atención. 

Para entender qué pasa con Irak resulta conveniente echar un vistazo a la gráfica de producción y consumo de Irak durante los últimos 20 años, extraída como siempre de la web Flujos de Energía, que usa los datos del informe anual de BP.  



La historia productiva de Irak refleja su propio drama como país. La primera gran caída tiene lugar cuando le declaró la guerra a Irán, a principios de los 80 del siglo pasado; el conflicto destruyó muchos pozos e instalaciones críticas. Estaba a punto de recuperar los niveles productivos de los 70 cuando invadió Kuwait en 1991  y sufrió un intenso castigo por parte de los EE.UU., lo cual redujo la producción prácticamente a cero. Después, nueva recuperación (esta vez, curiosamente, en forma de "L": ¿los intereses de Occidente favorecieron una gran inversión y tal despegue fulminante a finales de los 90?); y en 2003 nuevo capítulo bélico, esta vez directamente contra los EE.UU. Que este episodio fue diferente de los anteriores lo evidencia la rapídisima recuperación de la producción, que demuestra que los EE.UU. atacaron Iraq con precisión casi quirúrgica, asegurándose de no destruir instalaciones críticas (lo cual refuerza la impresión de que el anormal despegue de los años anteriores fue alimentado por una gran inversión sobre todo americana).

Una anomalía de la gráfica presentada arriba, y que también arroja ciertas sombras sobre las fabulosas predicciones de la AIE, es que BP no tiene datos sobre el consumo interno de Irak. Esta parte queda, por tanto, a la especulación y a la inferencia muy indirecta a través de la experiencia de primera mano de quienes sí que han vivido en Irak. Una de esas personas es Pedro Prieto, vicepresidente de la Asociación para el Estudio de los Recursos Energéticos (sección local de ASPO), co-fundador de la web Crisis Energética y viejo conocido de estas páginas. Pedro siempre cuenta a quien le quiere escuchar que las sucesivas guerras, y en particular las que Irak ha librado contra los americanos, han servido para degradar la incipiente industria del país y reducirlo a la Edad Media, de donde no ha podido salir durante los largos años de embargo y tampoco ahora en medio de su crónica inestabilidad. De ese modo, el consumo de Irak es sólo una fracción ínfima del que podría haber sido y así la mayoría de su petróleo puede ser exportado para solaz de los occidentales. Si tal destrucción del autoconsumo iraquí ha sido deliberada o accidental queda a la libre interpretación del lector. Lo que sí que parece es que efectivamente Irak ha conseguido esquivar el destino que marca el Modelo de Territorio Exportador que ya discutimos aquí, según el cual los países productores tienden a disminuir muy rápido sus exportaciones, cayendo éstas típicamente a una tasa que es el doble que la de la caída de producción. Aunque, a qué precio para los iraquíes...

Se ha de hacer notar que las dificultades sobre el terreno hacen que la propia industria del petróleo se resienta en Irak. Los pozos de petróleo, sobre todo los más maduros, requieren un continuo y costoso mantenimiento so pena de quedar inutilizados, a veces de manera definitiva. Por otro lado se tiene que tener en cuenta que algunas de las estrategias de explotación que se pretenden aplicar a Irak, exportadas de otros territorios, están basadas en el uso de abundantes cantidades de agua. En un país desértico como Irak, donde muchos de sus campos están en zona continental, tales estrategias tienen una aplicación mucho muy limitada, y no sólo es una cuestión de dinero. Eso explica por qué, a pesar de haber proyectos de explotación que sobre el papel deberían hacer que Irak produjese 15 Mb/d en 2020 la AIE no se permite tal cantidad ni en sus mejores sueños.

Pero incluso para los que creen que la única limitación es el dinero el reto a afrontar es terrible: según el propio informe de la AIE sería necesario realizar una inversión de 25.000 millones de dólares al año. Piensen que en la actualidad se invierten en ese país en el mismo segmento 9.000 millones de dólares anuales, lo que implica un incremento del 278%. Incremento que tiene que producirse ya para que el aumento de producción llegue a tiempo de revertir los intuidos efectos adversos de un peak oil cada vez más próximo, sino pasado. Sin embargo, una de los mayores problemas que afronta encontrar inversionistas para este presunto gran negocio del petróleo iraquí es la falta de seguridad en el país. Para poder explotar ese petróleo se tienen que provisionar pérdidas materiales y humanas, al final del día indistintamente convertidas en dinero en el balance de las empresas sobre el terreno, o bien (en realidad, además) fuertes gastos en seguridad. Todo lo cual hace disminuir el rendimiento económico de la inversión (tal descenso también se podría contemplar desde la perspectiva de la TRE, como un sobrecoste energético asociado a la inestabilidad). En añadidura, los retos técnicos a afrontar, comentados más arriba, no son menores.

Lo que se presume como una buena nueva oculta grandes retos técnicos, económicos y una cantidad de inversión tan elevada que hace dudar de cuál es la TRE real de la explotación que se pretende. Recuerden que a medida que la TRE se acerca a 1, la energía neta que nos deja el petróleo se acerca a 0. Y si para producir ese petróleo al ritmo que la AIE desea tenemos que reducir la TRE nos podemos encontrar delante de una situación en que la cantidad de barriles nominales aumenta, pero la energía que podemos aprovechar de ellos disminuye porque se consume más en su producción. Tal simple consideración termodinámica escapa del radar de los economistas ya que, como sabemos, no entienden el concepto de TRE. 

Lo desdichado del caso es que en realidad el mensaje de la AIE no puede ser más desesperante. Puesto que de manera implícita el lector de las presuntas buenas noticias de la AIE está dando por hecho que Irak será capaz de lograr el hito de aumentar tanto su producción (cosa difícil, como hemos explicado) todo lo demás manteniéndose igual. Desgraciadamente, de aquí a 2020 los campos actualmente en explotación en el mundo va a perder unos 36 Mb/d de producción, según preveía el CEO de Shell Peter Voser hace un año. Eso no quiere decir que el mundo vaya necesariamente a producir 36 Mb/d menos en 2020 (sobre los 90 Mb/d consumidos hoy en día eso representa una caída del 40% de la producción, ahí es nada), puesto que nuevos campos y pozos van a entrar en producción. Sin embargo, lo que parece claro es que compensar completamente tal declive es prácticamente imposible, como un debate público en la web francesa Oil Man dejó bastante claro (por cierto, vean el comentario sobre las previsiones que hace un año se hacían sobre Irak, semejantes a las que adopta hoy la AIE, y cómo la Administración Obama las desmiente rotundamente). La conclusión es que hacia 2020 las previsiones más razonables indican que la producción de petróleo será de entre 10 y 20 Mb/d inferior a lo que es ahora. Y ya de incrementar la producción ni hablamos; pero recuerden que mientras no se incremente la producción de petróleo se va a producir una transferencia neta de consumo de petróleo desde Occidente hacia las economías emergentes, uno de los factores que explican por qué esta crisis no va a acabar nunca. Y si como parece la producción declina, la crisis será aún más grave de lo que ya es ahora mismo. Y si como huída hacia adelante se pretende compensar la caída de producción de crudo con más biocombustibles se producirá un doble efecto perverso: primero, que en realidad no aumentamos nuestra cantidad de energía neta, ya que los biocombustibles tienen TREs cercanas a 1, con lo que creemos hacer algo y no hacemos nada; y segundo, que aceleraremos y extenderemos las Guerras del Hambre, con consecuencias imprevisibles a escala global. 

Delante de estas consideraciones los 6 Mb/d que la AIE quiere presentarnos como la gran maravilla parecen un mal sarcasmo. Parece cada vez más cercano el día en que la AIE meterá la mano en el saco de las buenas noticias y la sacará vacía.


Salu2,
AMT

jueves, 11 de octubre de 2012

Una lección de Física Estadística

Queridos lectores,

Me encuentro lejos de España, pero una vez más Luis Cosin toma el relevo. Cuidado con su artículo: comienza como una clase magistral de física estadística y acaba como una clase magistral de... mejor que lo vean Vds. mismos.

Salu2,
AMT

1. Estadística de Maxwell-Boltzmann


Con el nombre de “ley” o “estadística” de Maxwell-Boltzmann se conoce un resultado de máxima importancia en física teórica y que, como veremos, puede ser aplicado a realidades económicas y sociales.

Es uno de esos ejemplos de ciencia “elegante”, ya que partiendo de unas pocas hipótesis llega a conclusiones sorprendentes, por poco intuitivas y, además, verificables experimentalmente.

Empecemos por describirla en su marco natural: la física de partículas.


2. Microestados y macroestados de un sistema


Imaginemos un sistema compuesto por N partículas indistinguibles unas de otras como pueden ser, por ejemplo, las moléculas de un gas.





Supongamos que estas partículas se reparten en niveles de energía discretos que llamaremos E0, E1 ... En ... En todo momento, cada una de las partículas ocupa alguno de los niveles (y varias partículas pueden ocupar el mismo nivel).



Para cada nivel Ei llamaremos ni al número de partículas en dicho nivel en un instante dado.

  • A cada posible distribución de las N partículas en los distintos niveles lo llamaremos un microestado.

  • Agruparemos todos los posibles microestados que comparten el mismo número de partículas en cada nivel en un macroestado. Es decir, un macroestado es una disposición de cantidades de partículas en los niveles energéticos n0 ... ni ... Todos los microestados asociados a un mismo macroestado tienen igual número de partículas en cada nivel energético.

Un macroestado es algo observable (basta con contar las partículas en cada nivel) mientras que un microestado no lo es (ya que las partículas son indistinguibles unas de otras).

Por ejemplo, en el gráfico siguiente, que representa el caso de 3 moléculas en un sistema con energía total 3, existen:

  • 10 microestados posibles
  • y 3 macroestados posibles (cada una de las filas)

Notar que la suma de energías de todos ellos es 3:



La energía asociada a un microestado particular será entonces la suma de las energías de cada partícula:

E = Σi ni · Ei

El símbolo Σ se lee “suma” y la expresión anterior es la suma de todos los productos ni · Ei (número de partículas en cada nivel por la energía de cada nivel).


3. Hipótesis básicas


Para que la estadística de Maxwell-Boltzmann sea aplicable a un sistema, tendremos que hacer 3 hipótesis muy sencillas:

  1. El número de partículas, ni, en cada nivel de energía Ei es elevado.

  1. El sistema es aislado, es decir, no intercambia energía ni materia con el exterior. Entonces, son constantes:

E = Σi ni · Ei

N = Σi ni

  1. Las partículas del sistema realizan entre ellas intercambios de energía aleatorios, de suma cero y sin una preferencia determinada, es decir, todos los microestados con una energía total E son equiprobables.

Bajo estas tres sencillas condiciones, el macroestado más probable (es decir, aquél que tiene un mayor número de microestados posibles) corresponde a una distribución exponencial inversa.

ni = R · exp( -βEi )

Si la representamos con la energía en abscisas (horizontal) y el número de partículas en ordenadas (vertical) obtenemos el siguiente gráfico:



Es decir, el número de partículas en un nivel disminuye rápidamente a medida que aumenta Ei.

  • El factor β mide cuán rápido desciende la población de los niveles al aumentar Ei. A mayor valor de β, menor número de partículas de alta energía.

  • Y el factor de proporcionalidad R se ajusta para que se cumpla la restricción sobre el número total de partículas N.

La deducción es bastante sencilla y puede verse en el anexo.

Si además asumimos que hay muchos niveles y están muy juntos unos de otros y espaciados regularmente, entonces:

β = 1 / kT

Con T la energía media de las partículas, que no es otra cosa que la temperatura del sistema, y k la constante de Boltzmann (que depende de las unidades en las que se mida la temperatura y la energía).

A mayor temperatura, por tanto, menor es el valor absoluto de β y mayor la dispersión (más partículas en los niveles altos de energía).

Más aún, se demuestra fácilmente (ver anexo) que la entropía del sistema, S, es entonces:

S = k ln(M)

Con M el número de microestados posibles. Es decir, la entropía es una medida del “desorden” del sistema. A mayor número de microestados posibles, M, mayor entropía, S.

Esta observación fue hecha por primera vez por Boltzmann.


4. Y esto ¿qué tiene que ver con la economía?

Las 3 hipótesis que necesita la estadística de Maxwell-Boltzmann son muy básicas y es fácil pensar en otros entornos donde se cumplen con suficiente aproximación, no sólo en la física de partículas.

Existe controversia sobre si esta estadística puede ser aplicada a las ciencias sociales. El matemático Benjamin Peirce definió las matemáticas como "la ciencia que señala las conclusiones necesarias".

Debemos asumir entonces que, si en un entorno se cumplen las hipótesis, las conclusiones son aplicables a dicho entorno.

Si en la discusión anterior, sustituimos “partículas” por “individuos” y “energía” por “riqueza”, las tres hipótesis se convierten en:

  1. El número de individuos, ni, en cada nivel de riqueza Ei es elevado.

  1. El sistema es aislado, es decir, no intercambia riqueza ni indivíduos con el exterior.

  1. Los individuos del sistema realizan entre ellos intercambios de riqueza aleatorios, de suma cero y sin una preferencia determinada.

Estamos hablando, pues, de un “mercado no regulado” o “mercado natural” (distinguir de “libre mercado”).

En estas tres hipótesis, la estadística de Maxwell-Boltzmann nos dice que necesariamente la distribución de la riqueza más probable es exponencial inversa.

Es decir, en forma de la clásica pirámide de renta puntiaguda.

ni = R · exp( -βEi )

Y si el número de niveles es alto, el coeficiente es β = 1 / kT con T la riqueza media.

Conclusión 1: En mercados no regulados y con intercambios aleatorios de suma cero, la riqueza tiende a distribuirse de forma piramidal, más puntiaguda (es decir, más desigual) cuanto mayor sea la riqueza media (o “temperatura”).




Empíricamente, y como aproximación, suele hablarse de “Leyes de Pareto”. Por ejemplo, “el 20% de los individuos controla el 80% de los recursos y viceversa”.


5. Bueno, pero hemos asumido que no hay intercambios con el exterior...

Si mantenemos el número de partículas constante, cuando un sistema recibe una cantidad de calor q, aumenta la energía interna, y por tanto la energía media o temperatura, T.

En el equilibrio predicho por la estadística de Boltzmann:

β = 1 / kT

disminuye al aumentar T y, por tanto, aumenta la dispersión. De nuevo, si sustituimos “energía” por “riqueza”, y sin ánimo de ser polémico:

Conclusión 2: En mercados no regulados con intercambios aleatorios de suma cero, cuando se produce un aumento de la riqueza media, los segmentos más ricos perciben aumentos mayores de su patrimonio (tanto en términos absolutos como proporcionales) que los menos ricos.



En el fondo, es la clásica observación que todos podemos haber hecho alguna vez: en ausencia de mecanismos de redistribución, a pesar que la riqueza aumente, los patrimonios más bajos crecen más despacio en términos proporcionales y absolutos, que los más altos.


6. ¿Y el crecimiento? ¿y la movilidad social?

Cuando un sistema recibe una cantidad de calor q a una temperatura T, sin variar el número de partículas, su entropía (“desorden interno”) aumenta en:

Δ S = q/T = kqβ

A medida que la temperatura va aumentando, los incrementos de entropía que produce la misma cantidad de energía q son cada vez menores (β va disminuyendo).

Si asimilamos “entropía” (que es movilidad de partículas entre niveles) a “movilidad social”:

Conclusión 3: En mercados no regulados con intercambios aleatorios de suma cero, a medida que la riqueza aumenta, el efecto de incremento de la movilidad social asociado a ese incremento de la riqueza disponible es cada vez menor (de hecho, es inversamente proporcional a la riqueza media).




Referencias:







ANEXO: DEDUCCIÓN DE LA ESTADÍSTICA DE MAXWELL-BOLTZMANN


Para quien esté interesado, damos a continuación la justificación de los argumentos expuestos más arriba.

A.1. Deducción de la estadística de Maxwell-Boltzmann


Dentro de un nivel Ei con ni partículas, puede haber ni! posibles disposiciones de las mismas, donde ni! se llama factorial de ni y es una forma abreviada de escribir:

ni! = ni · (ni – 1) · (ni - 2) · ... · 2 · 1

Esto fácil de entender:

  • elegimos la primera partícula de la permutación entre las ni posibles,
  • la siguiente habrá que elegirla entre las ni – 1 restantes,
  • ... y así sucesivamente hasta que las agotamos todas.

Se dice que ni! es el número de posibles permutaciones de las ni partículas dentro del nivel Ei.

Si tenemos N partículas distribuidas con ni en cada nivel Ei, el número total M de microestados (permutaciones de los partículas) que no alteran la disposición en niveles será entonces:

M(n1 ... ni ...) = n1! · ... · ni! · ... = Πi ni!

Donde Π simboliza “producto”. Es decir, es el producto de los factoriales de los ni.

Para simplificar los cálculos con factoriales (que son bastante farragosos), usaremos logaritmos. Los logaritmos tienen la propiedad interesante de transformar multiplicaciones en sumas y potencias en multiplicaciones.

ln (a · b) = ln(a) + ln(b)
ln( ab ) = b · ln(a)

La función inversa del logaritmo es la exponencial: ln( exp(a) ) = a.

Haremos uso de la aproximación de Stirling para el logaritmo natural del factorial de números grandes:

ln(n!) ≅ n ( ln(n) – 1 ) para n grande
Como la función logarítmica es convexa, da igual maximizar una función f que su logaritmo, ln(f).

Tomamos entonces logaritmos en la expresión de M y usamos la aproximación de Stirling:

ln(M) = ln( Πi ni! ) = Σi ln(ni) ≅ Σi ni ( ln(ni) – 1 )

Queremos determinar el máximo de la expresión anterior, sujeto a las restricciones:

F = Σi ni – N = 0
G = Σi ni · Ei – E = 0

Aplicamos entonces el teorema del máximo: Existen multiplicadores α y β > 0 de modo que se cumplen las siguientes igualdades entre derivadas parciales:

( ∂ln(M)/∂ni ) = - α ·( ∂F/∂ni ) – β ·( ∂G/∂ni )

Es decir, sustituyendo:

( ln(ni) – 1 ) + 1 = - α ·( 1 ) – β ·( Ei )

Despejando:

ni = exp( -α -βEi ) = exp( -α ) · exp( -βEi ) = R · exp( -βEi )

Es decir, la distribución con mayor número de microestados (la más probable), es exponencial inversa.

Es decir, R y β se eligen de modo que se cumplan las dos restricciones sobre energía y número de partículas del sistema:

N = Σi ni = Σi R exp( -βEi ) = R · Σi exp( -βEi )

E = Σi Ei ni = Σi Ei·R·exp( -βEi ) = R · Σi Ei exp( -βEi )

Si despejamos R en la primera expresión:

R = N / Σi exp( -βEi )

Y la sustituimos en la segunda, obtenemos la ecuación que debe cumplir el parámetro β en función de N y E:

E · Σi exp( -βEi ) = N · Σi Ei exp( -βEi )

O bien, reordenando y dividiendo por N:

Σi ( E/N – Ei ) exp( -βEi ) = 0


A.2. Interpretación estadística de la temperatura

El cociente E/N = t es la energía media por partícula, que podemos llamar “temperatura absoluta”.

Entonces:


Σi ( t – Ei ) exp( -βEi ) = 0

De donde deducimos que β no depende del número de partículas, sino sólo de su energía media T y de la distribución de niveles de energía Ei.

Un caso especial interesante se da cuando hay muchos niveles y están muy juntos, espaciados regularmente.

Si asumimos que:

Ei = e·i

Donde e es el “salto cuántico” de un nivel energético al siguiente, entonces:

0 = Σi (t – ei) exp( -βei ) = t Σi exp( -βe )i – e Σi i exp( -βe )i

Que son dos sumas de potencias y se pueden expresar analíticamente (ver la nota más abajo):

0 = t (1 - exp( -βe ))-1 – e (1 - exp( -βe ))-2

Multiplicando ambos términos por (1 - exp( -βe ))2:

0 = t (1 - exp( -βe )) – e

Obtenemos una expresión para β en función de t y e. Despejando β:

β = -e-1 · ln(1 - e/t)

Como e es muy pequeño comparado con t (asumimos que hay muchos niveles y una cantidad de energía apreciable en el sistema), tenemos:

β = -e-1 · ln(1 - e/t) ≅ -e-1 ·(- e/t) = 1/t

Habitualmente, la temperatura no se mide como “energía media por partícula”, sino en una escala proporcional a ella, como es por ejemplo la escala Kelvin.

En este caso, t = kT con T la temperatura en la escala habitual y la constante de proporcionalidad, k, se denomina constante de Boltzmann.

Se trata de una constante fundamental en física. Para la escala Kelvin, tiene el siguiente valor determinado empíricamente:

k = 1,3806504 · 10-23 J/K (Julios/Kelvin)


Nota: Sea:

f(x) = Σi≥0 xi

Entonces:

x f(x) = Σi≥0 xi+1 = Σi≥1 xi

Restando ambas igualdades:

f(x) – x f(x) = 1

Es decir

Σi≥0 xi = f(x) = (1-x)-1

Derivando respecto de x:

Σi≥0 i xi = f’(x) = (1-x)-2


A.3. Interpretación estadística de la entropía


Supongamos que tenemos un sistema con N partículas distribuidas en un macroestado entre los diferentes niveles Ei.

El logaritmo del número de microestados compatibles con el macroestado será:

ln(M) ≅ Σi ni ( ln(ni) – 1 )

Si aportamos al sistema una cantidad positiva pequeña de energía:

e = Es - Er (r < s)

De modo que una de sus partículas la capture y “salte” del nivel Er al Es, el nuevo valor de ln(M) será:

ln(M’) ≅ Σi≠r,s ni ( ln(ni) – 1 )
+ ( nr – 1 )( ln(nr – 1) – 1 )
+ ( ns + 1 )( ln(ns + 1) – 1 )

Tanto nr como ns son muy grandes, por lo que ln(nr) ≅ ln(nr – 1), ln(ns) ≅ ln(ns + 1). Es decir:

ln(M’) ≅ Σi ni ( ln(ni) – 1 ) – ( ln(nr) – 1 ) + ( ln(ns) – 1 )

Reordenando:

ln(M’) ≅ ln(M) – ln(nr) + ln(ns)

Es decir:

Δ ln(M) = ln(M’) - ln(M) Δ ln(ns) - ln(nr)

Si asumimos que el sistema está en equilibrio en su estado más probable y R prácticamente no varía, entonces:

ns = R exp ( - Es/kT )
nr = R exp ( - Er/kT )

Y entonces:

Δ ln(M) ≅ ( ln(R) – Es/kT ) – ( ln(R) – Er/kT ) = (Er – Es)/kT

Pero e = Es – Er es la energía aportada al sistema, por lo que:

Δ ln(M) ≅ - e /kT = ΔS / k

Con Δ S = q/T el incremento de la entropía del sistema. Es decir:

ΔS = k · Δln(M)

O bien, ya que ambas, S y M, son variables de estado del sistema:

S = k ln(M)

Obtenemos una de las ecuaciones más famosas atribuídas a Boltzmann. La entropía es, mediando la constante de Boltzmann, proporcional al logaritmo del número de microestados posibles.

Es decir, la entropía es una medida del “desorden” del sistema.


Referencias: