En primer lugar, quiero agradecer a todas las personas que nos han ayudado con mi petición de ayer. La votación aún continuará abierta diez días más, así que quizá aún está a tiempo de votar si aún no lo ha hecho. Y a los que me han criticado por usar el blog para una petición personal, acepto las críticas, semejantes a las que yo mismo me había planteado antes de decidirme a publicar mi ruego y de hecho mucho me han hecho dudar. Cabe decir que yo no sacaré ningún beneficio personal de este asunto, si acaso más trabajo, con lo que si lo miran bien no se diferencia tanto de este blog. Pero es hora de volver al trabajo, que muchos temas se acumulan ya. El penúltimo post de esta semana lo ha escrito el siempre eficaz Luis Cosin hace ya semanas, y en él nos explica los fundamentos teóricos de la teoría de juegos. Esta teoría nos permite entender algunos aspectos de la interacción social, clave en estos momentos de crecimiento de la Gran Exclusión, o de la dinámica entre países productores y consumidores de petróleo. Curiosamente, este post enlaza con una discusión sobre el darwinismo social que aún colea en el último post.
Les dejo con Luis.
Salu2,
AMT
Teoría de Juegos
1. Orígenes
La
teoría de juegos surge como curiosidad matemática en el
siglo XVIII y rápidamente encuentra aplicación a la economía.
En
los años de la guerra fría conoce un amplio desarrollo, como un
intento de analizar los equilibrios de poder y plantear
estrategias más eficientes.
Sus
aplicaciones van desde negociaciones comerciales globales, hasta la
biología evolutiva y las relaciones laborales.
Los
teóricos más destacados son Antoine Augustin Cournot, John von
Neumann, John Forbes Nash, John Harsanyi y Reinhard Selten (los tres
últimos son premios Nóbel de economía).
2. Definición formal
En esencia, un juego es un conjunto
de decisiones de dos o más actores que conducen a un resultado
final para cada uno de ellos.
Cada jugador tiene a su disposición
un abanico de opciones y, dependiendo de las decisiones del resto de
jugadores, obtiene un rendimiento, que normalmente es cuantitativo.
Para
dos jugadores que eligen simultáneamente, puede representarse por
medio de una matriz de pagos (este tipo de juegos se llaman,
por eso, “rectangulares”).
Si
el jugador A tiene a su disposición las opciones A1 y A2
y el jugador B tiene como opciones B1 y B2,
entonces se pueden representar en forma de matriz todas las
posibilidades del juego, con la notación: resultado para A \
resultado para B:
Jugador
B
|
|||
Opción
B1
|
Opción
B2
|
||
Jugador
A
|
Opcion
A1
|
0
\ 0
|
0
\ 1
|
Opción
A2
|
1
\ 1
|
2
\ 2
|
|
Así,
si A elige A1 y B elige B2, entonces A consigue
0 y B consigue 1... etc.
El
concepto de “rendimiento” es amplio y no corresponde
necesariamente a una ganancia económica. Puede ser grado de
adaptación (en términos evolutivos), una tasa de éxito...etc.
Para más de dos jugadores, la matriz
anterior tendría 3 o más dimensiones. Aunque la mayor parte de los
juegos más interesantes se dan entre dos jugadores.
Los
juegos finitos consisten en realidad en una sucesión de
elecciones para cada jugador. En este caso, se prefiere una
representación general en forma de arbol de decisión (forma
extensiva).
En
el caso anterior, si primero elige A y luego B, podríamos
representarlo así:
Referencias
3. Estrategias
Normalmente,
se habla de:
- Estrategias puras: cada una de las elecciones disponibles para el jugador en las diferentes fases del juego. En el caso anterior, el jugador A sólo tiene dos estrategias puras: A1 y A2.
- Estrategias mixtas: cada jugador elige una distribución de probabilidad (es decir, asigna una probabilidad) a cada una de sus posibles elecciones. Es decir, una estrategia mixta consiste en asignarle cierta probabilidad a cada una de las estrategias puras. En el caso anterior, el jugador A podría elegir, por ejemplo, A1 con un 75% de probabilidad y A2 con un 25%. Cada una de estas (infinitas) posibles asignaciones de probabilidad es una estrategia mixta.
Referencias
4. Equilibrio de Cournot-Nash
El
concepto de equilibrio de Cournot-Nash es sumamente importante
en teoría de juegos. Se llama equilibrio a aquella situación en la
que cada jugador:
- Conoce las estrategias de los demás y
- Consecuentemente ha adoptado la mejor estrategia posible.
La
característica de un equilibrio de este tipo es que ningún jugador
individual gana nada modificando su estrategia mientras los otros
mantengan las suyas. Ningún jugador tiene incentivos para
modificar individualmente su estrategia.
Un ejemplo de equilibrio se da en el
juego conocido como “dilema del prisionero”, que es un juego no
colaborativo:
“Dos
delincuentes son detenidos y encerrados en celdas de aislamiento de
forma que no pueden comunicarse entre ellos. El alguacil sospecha que
han participado en el robo del banco, delito cuya pena es diez años
de cárcel, pero no tiene pruebas. Sólo tiene pruebas y puede
culparles de un delito menor, tenencia ilícita de armas, cuyo
castigo es de dos años de cárcel. Promete a cada uno de ellos
que reducirá su condena a la mitad si proporciona las pruebas para
culpar al otro del robo del banco.”
El
enunciado puede representarse por la siguiente matriz de pagos:
Jugador
B
|
|||
Delatar
|
No
delatar
|
||
Jugador
A
|
Delatar
|
5
\ 5
|
1
\ 10
|
No
delatar
|
10
\ 1
|
2
\ 2
|
|
En
este caso, tanto A como B decidirán delatar y este conjunto de
decisiones es un equilibrio de Nash, pues cualquier modificación de
la estrategia produce un aumento de la pena para quien lo hace.
Un
equilibrio de Cournot-Nash no es necesariamente un óptimo para
ambos jugadores.
El
interés de los equilibrios de este tipo es que representan
comportamientos límite estables que se observan en multitud
de situaciones: negociaciones, equilibrio ecológico, cuotas de
mercado de competidores, cumplimiento de contratos...etc.
En
su tesis de doctorado, John Forbes Nash probó que, con
estrategias mixtas, hay al menos un equilibrio para cada juego
finito.
No
siempre el equilibrio está formado por estrategias puras. Por
ejemplo, el clásico juego de piedra-papel-tijera no dispone de
ningún equilibrio con estrategias puras:
Jugador
B
|
||||
Piedra
|
Papel
|
Tijera
|
||
Jugador
A
|
Piedra
|
0
\ 0
|
0
\ 1
|
1
\ 0
|
Papel
|
1
\ 0
|
0
\ 0
|
0
\ 1
|
|
Tijera
|
0
\ 1
|
1
\ 0
|
0
\ 0
|
|
Además
del dilema del prisionero, se conoce gran número de casos típicos
de equilibrios de Cournot-Nash:
- Competencia: en su versión más simple participan dos agentes económicos y ambos deben escoger simultáneamente un número entero entre cero y diez. Los dos jugadores ganan el valor menor propuesto, pero además, si los números son distintos, el que ha escogido el mayor le debe pagar dos unidades monetarias al otro. El único equilibrio de Nash es aquél en el que ambos jugadores escogen el cero.
- Coordinación: existen dos participantes y ambos tienen la opción de conducir por la derecha o conducir por la izquierda. Los pagos son cien si no se produce el choque y cero si sucede este. Este juego puede alcanzar únicamente dos equilibrios de Nash, que corresponden a situaciones en las que los dos participantes eligen conducir por el mismo lado.
- Tragedia de los comunes: procede de un análisis de James Hardin sobre el Equilibrio de Nash, que publicaría en su obra ‘The tragedy of the commons’ (La tragedia de los comunes) (1968). En este juego, existen n jugadores, que hacen uso de un bien común, como por ejemplo un bosque. Todos los jugadores pueden decidir entre cuidarlo o no, y aunque algunos decidan no cuidarlo, siempre podrán hacer uso de él. El único equilibrio de Nash es aquél en el que todos eligen la estrategia egoísta, puesto que ser solidarios reduce su ganancia.
Referencias
5.
Juegos “infinitos”: teoría evolutiva de juegos
La
teoría evolutiva de juegos estudia un juego como un sistemadinámico, en lugar de centrarse en los puntos de equillibrio.
Si un juego se repite indefinidamente
y representamos gráficamente el “saldo” de cada jugador en cada
momento, obtendremos una sucesión de puntos:
Estamos ante un sistema dinámico
(discreto, no contínuo), cuyo comportamiento quedará descrito por
atractores y repelentes (ver post sobre teoría de sistemas).
En
estos sistemas se habla de estrategias evolutivamente estables
(o EEE), que son un refinamiento de los equilibrios de Nash: una EEE
es una estrategia tal que, si es adoptada por una población, no
puede ser invalidada por ninguna otra estrategia alternativa
(definición de John Maynard Smith). Representan puntos de equilibrio
evolutivo.
