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Queridos lectores,
El siempre eficaz Luis Cosin me envió hace semanas este post. Es bastante técnico, pero permite ilustrar con ecuaciones y modelos sencillos la realidad de nuestro paradigma. Se puede buscar complicada retórica para enmascarar las cosas, pero al final el proceso sigue una lógica implacable.
Espero que les resulte tan interesante como a mi.
Salu2,
AMT
Dinámicas de crecimiento y decrecimiento
Las técnicas de modelización mediante sistemas dinámicos permiten construir modelos de la realidad y hacer estimaciones razonables sobre su comportamiento futuro.
Actualmente
son una herramienta indispensable en la toma de decisiones.
En
este artículo, vamos a discutir varios de los modelos dinámicos
empleados más frecuentemente para describir fenómenos naturales y
sociológicos.
Quien
esté interesado en la parte matemática, puede ver el desarrollo en
el anexo.
1.
Crecimiento exponencial
Cuando
la tasa
de crecimiento
de una magnitud es proporcional
a la cantidad existente (es
decir, cuando, de alguna manera, todos los elementos existentes
contribuyen al crecimiento):
y’
= k y
Con
k la tasa de crecimiento, el crecimiento de esa magnitud tiene forma
exponencial (ver anexo 1):
y
= yo
ekt
Con
yo
el valor en el momento inicial t = 0. A continuación, mostramos un
ejemplo de gráfica de crecimiento exponencial con yo=1
y una tasa del 5%:
Se llama
periodo de duplicación al tiempo necesario para que y(t) se
duplique. Es decir, es el periodo p de modo que:
y(t+p) = 2
y(t)
Sustituimos:
yo
ek(t+p) = 2 yo
ekt
Cancelando yo
y por propiedades de los exponentes:
yo
ekt ekp = 2
yo
ekt
Cancelando el
factor yo
ekt a ambos lados:
ekp
= 2
es decir, el
periodo de duplicación es:
p = ln(2) / k ~ 0,69 / k.
Por ejemplo,
si la tasa de crecimiento es de un 5%, entonces k = 0,05 y el periodo
de duplicación es p = 0,69 / 0,05 = 13,8.
Como regla
mnemotécnica aproximada puede usarse la siguiente (regla 10/7):
“Una
tasa de crecimiento del 10% supone duplicar cada 7 unidades de
tiempo”
El
crecimiento exponencial se observa en la naturaleza cuando hay
retroalimentación (cada elemento contribuye al crecimiento
posterior) y aún no actúan restricciones (por ejemplo, crecimiento
inicial de una colonia de bacterias o expansión de una epidemia).
2.
Decrecimiento exponencial
El
decrecimiento exponencial es una situación completamente análoga:
se da cuando la tasa de disminución de una magnitud es
proporcional a las existencias.
y’ = -
k y
con k
(positivo) la tasa de decrecimiento. En este caso, la curva tiene
forma de exponencial inversa (ver anexo 2):
y = yo
e –kt
Con
yo
el valor en el momento inicial t = 0. Por ejemplo, para
una cantidad inicial yo
= 100 y una tasa de decrecimiento del 5%:
Se llama
periodo de semiagotamiento (o semidesintegración) al tiempo
que tarda la cantidad existente en reducirse a la mitad.
Es decir, es
el periodo p de modo que:
2 y(t+p) =
y(t)
Sustituimos:
2 yo
e-k(t+p) =
yo
e-kt
Por
propiedades de los exponentes:
2 yo
e-kt e-kp = yo
e-kt
Cancelando el
factor yo
ekt en los dos miembros:
2 e-kp
= 1
es decir, al
igual que en el caso del crecimiento exponencial:
p = - ln(1/2) / k ~ 0,69 / k
Si la tasa de
decrecimiento es de un 5%, entonces k = 0,05 y el periodo de
semiagotamiento es p = 0,69 / 0,05 = 13,8.
Como regla
mnemotécnica aproximada puede usarse la siguiente (regla 10/7):
“Una
tasa de decrecimiento del 10% supone reducir a la mitad cada 7
unidades de tiempo”
Experimentalmente,
se encuentran decrecimientos exponenciales en fenómenos naturales
como la desintegración de núcleos atómicos, y en la tasa de
descubrimiento de nuevos yacimientos de un recurso finito (cuando la
tasa de nuevos descubrimientos puede ser aproximada a una proporción
de “lo que queda por descubrir”).
3.
Crecimiento logístico
Normalmente,
el crecimiento de una magnitud es exponencial en la ausencia de
restricciones, pero cuando éstas se manifiestan, lo hacen
disminuyendo la tasa a medida que ésta se aproxima a un máximo
admisible.
El
crecimiento logístico es una combinación de crecimiento y
decrecimiento exponenciales. Un ejemplo característico es la curva
logística, que es la solución de la ecuación de Verhulst:
y’ = k y (1 –
y/r)
Con
k la tasa de crecimiento “libre de restricciones”, y r el máximo
admisible.
Para
y mucho menor que r, el crecimiento es el máximo posible (tasa k),
pero a medida que y se va aproximando a r, éste va disminuyendo
hasta hacerse 0.
En
este caso, la curva tiene la siguiente forma (ver anexo 3):
y = r / ( 1 + (
r/yo
– 1 ) e-kt
)
Con
yo
el valor en el momento inicial t = 0. Por ejemplo, tomando un máximo
de r = 100, un valor inicial yo=1
y un crecimiento libre de restricciones k = 5% tenemos la siguiente
gráfica característica:
En este
modelo hay un punto característico, llamado punto de inflexión, en
el que la curva deja de ser cóncava para ser conveza. Corresponde al
momento en que la segunda derivada (la “aceleración” de y) es 0.
Es decir:
0 = y’’ = k y’
(1 – y/r) – k y y’/r = k y’ – 2 k y y’/r = k y’ (1 –
2 y / r )
Como
la derivada y’ no se anula, entonces el segundo factor debe
anularse y tenemos:
y
= r/2
Es
decir, cundo la magnitud y alcanza la mitad de su valor máximo, el
crecimiento comienza a ser más lento.
El
crecimiento logístico es una generalización del crecimiento
exponencial.
- Para pequeños valores, de la magnitud, se asemeja mucho al crecimiento exponencial.
- Sin embargo, a partir de un cierto punto, el crecimiento se ralentiza hasta tender a 0.
La curva
logística representa aproximadamente fenómenos que se
auto-limitan: propagación de rumores, la extensión de una
innovación tecnológica o una epidemia: al principio estos fenómenos
se propagan rápidamente, pues cada “infectado” es susceptible de
traspasar el “contagio” a cualquier otro individuo que tenga
contacto con él (en esta fase, el crecimiento parece exponencial),
pero cuando el número de “infectados” crece, es cada vez más
difícil encontrar una persona que previamente no haya estado en
contacto con la “enfermedad”.
Es típica la
aplicación de la ecuación logística al crecimiento poblacional
según el cual:
- La tasa de reproducción es proporcional a la población existente.
- La tasa de reproducción es proporcional a la cantidad de recursos disponibles (que disminuye de forma proporcional a la población existente).
4. Un
modelo para el agotamiento por uso de recursos finitos
Podemos combinar los modelos
anteriores para describir el comportamiento de un recurso finito que
se agota con el uso. Siguiendo la bibliografía más frecuente,
llamaremos:
- S(t) (de “stock) a las existencias en el instante t
- P(t) a la producción total acumulada (por tanto, P’(t) es la producción instantánea)
- Y a los recursos totales (una constante)
- D(t) a la cantidad total descubierta acumulada hasta t (por tanto, D’(t) es la tasa de descubrimientos).
Entonces, haciendo dos sencillas
hipótesis, que aproximan bastante bien la mayor parte de las
situaciones reales:
- La tasa de nuevos descubrimientos es proporcional a lo que queda por descubrir, por medio de una constante d (a medida que se va descubriendo “lo más fácil” cada vez va costando más descubrir “lo más difícil”):
D’ = d ( Y – D ) (I)
- La producción instantánea P’ es proporcional al stock disponible S en cada momento, por medio de una constante p (áreas de producción grandes, con más recursos, producen más rápido que áreas más pequeñas):
P’ = p S (II)
La variación instantánea del stock
S’ son entonces los nuevos descubrimientos D’ menos la producción
instantánea P’:
S’ = D’ - P’ (III)
Tenemos así un sistema dinámico
sencillo con tres variables (D, P y S) regido por tres ecuaciones
diferenciales (I), (II) y (III). Puede demostrarse (ver el anexo 3)
que la solución a este sistema es:
D(t) = Y ( 1 - e-dt )
S(t)
= ( e-pt
- e-dt )
d Y / ( d - p )
P(t) = Y ( 1 + ( - d e-pt
+ p e-dt )
/ ( d - p ) )
Por ejemplo, tomando unas
existencias totales de Y = 100, una tasa de descubrimiento d = 5%
(esto es como decir que prácticamente todo el recurso se descubrirá
antes de 100 periodos de tiempo) y una tasa de producción p = 8% (lo
que equivale a decir que en todo momento se produce a un ritmo al
cual “aún queda recurso para 30 periodos”) obtenemos el
siguiente gráfico (que a estas alturas ya debería ser familiar para
muchos!).
La cantidad descubierta (línea
roja) “tira” hacia arriba de la cantidad producida (línea
morada) aunque ésta lleva un retraso de casi 20 o 30 unidades de
tiempo.
Notar que las existencias (línea
verde) alcanzan un máximo y luego disminuyen suavemente. Las
existencias nunca superan el 30% del total.
La línea azul claro es la
producción instantánea y la granate, la tasa de descubrimientos. A
esta escala no se aprecian muy bien, pero si hacemos un “zoom”
obtenemos la curva de declinio clásica (la curva verde son las
reservas y la azul claro, la producción):
Hacemos un zoom aún mayor para ver
en detalle las curvas de descubrimientos y producción:
En su modelo, Hubbert predice una
producción mayor en el pico (y, consecuentemente, una caída más
abrupta), aunque la forma de la curva no es exactamente una “campana”
sino una “beta” que se “estira” hacia la derecha. La “beta”
y la exponencial inversa (agotamiento exponencial) son las curvas de
declinio más típica observada en minas y pozos de petróleo y gas.
Una conclusión interesante de este
modelo es que se puede calcular fácilmente el máximo de
producción (y de las reservas) en función de los recursos totales,
la tasa de descubrimientos y la tasa de producción.
Es el momento en que P’ = pS deja
de crecer, es decir, cuando su derivada P’’ = 0 Pero:
0 = P’’ = p
S’= p ( D’ - P’ ) = p ( d ( Y – D ) – P’ )
Es decir, la condición de máximo
es:
P’ = d ( Y
– D ) = D’
El máximo ocurre exactamente
cuando la tasa de descubrimientos iguala a la producción instantánea
(en el gráfico, ocurre cuando las líneas azul claro y granate
se cruzan). Técnicamente, esto ocurre cuando se dejan de poder
remplazar todas las reservas consumidas. A partir de ahí, ya no hay
vuelta atrás.
En el ejemplo mostrado, en ningún
momento se produce más del 2,3% del total de existencias.
A modo de curiosidad, muestro aquí
los datos numéricos:
| t | D | D' | S | P | P' |
0
|
0,00
|
5,00
|
0,00
|
0,00
|
0,00
|
1
|
4,88
|
4,76
|
4,69
|
0,19
|
0,37
|
2
|
9,52
|
4,52
|
8,78
|
0,73
|
0,70
|
3
|
13,93
|
4,30
|
12,35
|
1,58
|
0,99
|
4
|
18,13
|
4,09
|
15,43
|
2,70
|
1,23
|
5
|
22,12
|
3,89
|
18,08
|
4,04
|
1,45
|
6
|
25,92
|
3,70
|
20,34
|
5,58
|
1,63
|
7
|
29,53
|
3,52
|
22,25
|
7,28
|
1,78
|
8
|
32,97
|
3,35
|
23,84
|
9,13
|
1,91
|
9
|
36,24
|
3,19
|
25,15
|
11,09
|
2,01
|
10
|
39,35
|
3,03
|
26,20
|
13,15
|
2,10
|
11
|
42,31
|
2,88
|
27,03
|
15,28
|
2,16
|
12
|
45,12
|
2,74
|
27,65
|
17,47
|
2,21
|
13
|
47,80
|
2,61
|
28,10
|
19,70
|
2,25
|
14
|
50,34
|
2,48
|
28,38
|
21,96
|
2,27
|
15
|
52,76
|
2,36
|
28,53
|
24,23
|
2,28
|
16
|
55,07
|
2,25
|
28,55
|
26,52
|
2,28
|
17
|
57,26
|
2,14
|
28,46
|
28,80
|
2,28
|
18
|
59,34
|
2,03
|
28,27
|
31,07
|
2,26
|
19
|
61,33
|
1,93
|
28,00
|
33,32
|
2,24
|
20
|
63,21
|
1,84
|
27,66
|
35,55
|
2,21
|
21
|
65,01
|
1,75
|
27,26
|
37,75
|
2,18
|
22
|
66,71
|
1,66
|
26,80
|
39,91
|
2,14
|
23
|
68,34
|
1,58
|
26,30
|
42,03
|
2,10
|
24
|
69,88
|
1,51
|
25,76
|
44,12
|
2,06
|
25
|
71,35
|
1,43
|
25,19
|
46,15
|
2,02
|
26
|
72,75
|
1,36
|
24,60
|
48,15
|
1,97
|
27
|
74,08
|
1,30
|
23,99
|
50,09
|
1,92
|
28
|
75,34
|
1,23
|
23,36
|
51,98
|
1,87
|
29
|
76,54
|
1,17
|
22,72
|
53,83
|
1,82
|
30
|
77,69
|
1,12
|
22,07
|
55,62
|
1,77
|
31
|
78,78
|
1,06
|
21,42
|
57,36
|
1,71
|
32
|
79,81
|
1,01
|
20,77
|
59,05
|
1,66
|
33
|
80,80
|
0,96
|
20,11
|
60,68
|
1,61
|
34
|
81,73
|
0,91
|
19,47
|
62,26
|
1,56
|
35
|
82,62
|
0,87
|
18,83
|
63,80
|
1,51
|
36
|
83,47
|
0,83
|
18,19
|
65,28
|
1,46
|
37
|
84,28
|
0,79
|
17,57
|
66,71
|
1,41
|
38
|
85,04
|
0,75
|
16,96
|
68,09
|
1,36
|
39
|
85,77
|
0,71
|
16,35
|
69,42
|
1,31
|
40
|
86,47
|
0,68
|
15,76
|
70,70
|
1,26
|
41
|
87,13
|
0,64
|
15,18
|
71,94
|
1,21
|
42
|
87,75
|
0,61
|
14,62
|
73,13
|
1,17
|
43
|
88,35
|
0,58
|
14,07
|
74,28
|
1,13
|
44
|
88,92
|
0,55
|
13,53
|
75,39
|
1,08
|
45
|
89,46
|
0,53
|
13,01
|
76,45
|
1,04
|
46
|
89,97
|
0,50
|
12,51
|
77,47
|
1,00
|
47
|
90,46
|
0,48
|
12,01
|
78,45
|
0,96
|
48
|
90,93
|
0,45
|
11,54
|
79,39
|
0,92
|
49
|
91,37
|
0,43
|
11,08
|
80,30
|
0,89
|
50
|
91,79
|
0,41
|
10,63
|
81,16
|
0,85
|
51
|
92,19
|
0,39
|
10,20
|
82,00
|
0,82
|
52
|
92,57
|
0,37
|
9,78
|
82,79
|
0,78
|
53
|
92,93
|
0,35
|
9,37
|
83,56
|
0,75
|
54
|
93,28
|
0,34
|
8,98
|
84,30
|
0,72
|
55
|
93,61
|
0,32
|
8,61
|
85,00
|
0,69
|
56
|
93,92
|
0,30
|
8,25
|
85,67
|
0,66
|
57
|
94,22
|
0,29
|
7,90
|
86,32
|
0,63
|
58
|
94,50
|
0,28
|
7,56
|
86,94
|
0,60
|
59
|
94,77
|
0,26
|
7,24
|
87,53
|
0,58
|
60
|
95,02
|
0,25
|
6,93
|
88,10
|
0,55
|
61
|
95,26
|
0,24
|
6,63
|
88,64
|
0,53
|
62
|
95,50
|
0,23
|
6,34
|
89,16
|
0,51
|
63
|
95,71
|
0,21
|
6,06
|
89,65
|
0,49
|
64
|
95,92
|
0,20
|
5,80
|
90,13
|
0,46
|
65
|
96,12
|
0,19
|
5,54
|
90,58
|
0,44
|
66
|
96,31
|
0,18
|
5,30
|
91,01
|
0,42
|
67
|
96,49
|
0,18
|
5,06
|
91,43
|
0,41
|
68
|
96,66
|
0,17
|
4,84
|
91,82
|
0,39
|
69
|
96,83
|
0,16
|
4,62
|
92,20
|
0,37
|
70
|
96,98
|
0,15
|
4,42
|
92,56
|
0,35
|
71
|
97,13
|
0,14
|
4,22
|
92,91
|
0,34
|
72
|
97,27
|
0,14
|
4,03
|
93,24
|
0,32
|
73
|
97,40
|
0,13
|
3,85
|
93,55
|
0,31
|
5. Modelos
de predador-presa
Son modelos
aplicables a recusos renovables, donde un recurso que se
autoregenera (que podemos asimilar a la “presa”) crece
cuando el consumidor (que podemos asimilar a”predador”)
retrocede y decrece cuado el consumidor crece.
Si llamamos S
a la cantidad o “stock” del recurso (presa) y C a la cantidad del
consumidor (predador) en cada instante t, uno de los modelos más
exitosos a la hora de predecir fenómenos observables se debe a Lotka
y Volterra.
Realmente, se
trata de una generalización del crecimiento logístico. Se asume
que:
- Para la presa, el crecimiento es proporcional a la cantidad existente S y es frenado por la cantidad de predadores C:
S’ = d S ( 1 – C/e)
El factor d es la tasa de crecimiento “libre de predadores” y e
es la cantidad de predadores a partir de la cual la tasa de
crecimiento se hace negativa.
- Para el predador, el decrecimiento es proporcional a la cantidad de competencia (predadores) y es suavizado por la cantidad de presas:
C’ = - f C ( 1 – S/g )
El factor f es la tasa de decrecimiento “libre de presas” y g es
la cantidad de presas a partir de la cual la tasa de crecimiento se
hace positiva.
Es duro ser
presa, pero más duro aún es ser predador!
En general,
estas ecuaciones tienen una solución, pero no es analítica
(es decir, la solución no se puede expresar con una fórmula como en
los ejemplos anteriores), pero sí pueden usarse métodos numéricos
en una hoja de cálculo para obtener aproximaciones:
Una
característica de las soluciones de la ecuación es que tienen un
carácter aproximadamente cíclico (ambos valores oscilan en un
rango máximo y mínimo). Por ejemplo, para d = 0,05 (tasa de
crecimiento del 5%), e = 15 (número máximo sostenible de
predadores), f = 0,1 (tasa de mortalidad de predadores del 10%) y g
= 60 (número mínimo de presas necesarias para que la población de
predadores se estabilice), tenemos:
El carácter
cíclico y la presencia de atractores se ve mejor representando la
evolución de C y S conjuntas (presas en eje horizontal y predadores
en eje vertical):
El sistema de
Lotka-Volterra se ha ropuesto como modelo de los ciclos económicos
cuando hay un factor limitante (por ejemplo, la oferta monetaria o el
suministro energético).
ANEXOS
Anexo 1:
Ley de crecimiento exponencial
Si:
y’ = k y
Dividiendo
por y ambos miembros:
y’
/ y = k
E
integrando:
ln(y)
= kt + c
De donde:
y = ekt+c
Si
asumimos que en el momento inicial t = 0 el valor es yo
entonces c = ln(yo).
y
= yo
ekt
Anexo 2:
Ley de decrecimiento exponencial
Si:
y’ = - k y
Dividiendo
por y ambos miembros:
y’
/ y = - k
E
integrando:
ln(y)
= - kt + c
De donde:
y = e-kt+c
Si queremos
que el valor inicial t = 0 la cantidad inicial sea yo,
entonces c = ln(yo), o bien:
y = yo
e –kt
Anexo 3:
Ley de crecimiento logístico
Si:
y’ = k y (1 – y/r)
Hacemos
el cambio de variable z = y/r. Entonces:
r
z’ = k r z ( 1 – z )
Cancelamos
el factor r a ambos lados:
k
z ( 1 – z ) = z’
Dividimos
por z ( 1 – z ):
k = z’ / z ( 1 – z
)
Teniendo
en cuenta que:
-k
= - z’ / ( 1 – z ) - z’ / z = ln ( 1 – z )’ – ln( z )’
Integrando
ambos lados:
-kt + c = ln( 1 – z
) - ln( z ) = ln ( ( 1 – z ) / z )
Tomando
exponenciales:
e-kt+c
= ( 1 – z ) / z = 1/z – 1
Es
decir:
z ( 1 +e-kt+c
)
= 1
z = 1 / ( 1 + e-kt+c
)
Deshacemos
el cambio de variable:
y
= r z = r / ( 1 + e-kt+c
)
Si
el valor en el instante t=0 es yo,
entonces podemos tomar c = ln( r/ yo
– 1 ), es decir:
y = r / ( 1 + ( r/yo
– 1 ) e-kt
)
Anexo 4:
Ley de agotamiento de recursos finitos
Tenemos
el siguiente sistema de ecuaciones:
D’
= d ( Y – D ) (I)
P’
= p S (II)
S’ = D’ - P’ (III)
Vamos a simplificarlo. Sustituyendo
(II) en (III):
D’ = d ( Y –
D ) (I)
S’ = D’ - p S (III)
La ecuación (I) podemos rescribirla
así:
D’ / ( Y – D ) = d
- ln ( K – D )‘ = - d
Integrando:
Y – D = e-dt + c
Es decir:
D = Y - e-dt + c
Puesto que D(0) = 0 (al principio,
asumimos que no se ha descubierto nada aún) tenemos:
0 = Y - e c
es decir, c = ln(Y), de donde:
D(t) = Y ( 1 - e-dt
)
Sustituyendo en
(III):
S’ = D’ - p S = d Y e-dt
- p S
S’ + p S = d
Y e-dt
Derivamos ambos
lados:
S’’ + p S’
= - d2
Y e-dt
Cancelamos los términos a la
derecha (multiplicando la primera ecuación por d y sumando miembro a
miembro):
( S’’ + p
S’ ) + d (S’
+ p S ) = 0
Es decir:
S’’ + ( p +
d ) S’ + pd = 0
Obtenemos una ecuación diferencial
lineal, que podemos expresar así (∂ el operador “derivada
respecto de t”):
( ∂ + p ) ( ∂ + d ) S = 0
Y cualquier solución a este sistema
(que tiene polinomio característico (X+p)(X+d)) es de la forma:
S = u e-pt
+ v e-dt
Con u y v
cualesquiera. Imponemos las restricciones. S(0) = 0 por lo
que:
0 = u + v
Y entonces:
S = u ( e-pt
- e-dt )
Además,
S’ = d Y e-dt
- p S
Sustituyendo:
u ( -p e-pt
+ d e-dt ) = d
Y e-dt -
p u ( e-pt
- e-dt )
Cancelamos
términos a ambos lados:
d u e-dt
= d Y e-dt +
p u e-dt
Y dividimos por
e-dt
para obtener una expresión de u:
d u = d
Y + p
u
u = d Y / ( d -
p )
Lo que nos da
la expresión para S:
S(t)
= ( e-pt
- e-dt )
d Y / ( d - p )
Por
último, tenemos la tasa de producción:
P’
= p S = ( e-pt
- e-dt )
p d Y / ( d - p )
Integrando:
P
= ( - e-pt
/p + e-dt / d )
p d Y / ( d - p ) + c
Es
decir:
P
= ( - d e-pt
+ p e-dt )
Y / ( d - p ) + c
Como
P(0) = 0 (la producción inicial es 0):
0
= ( - d + p ) Y / ( d - p ) + c = -Y + c
De
donde:
c
= Y
Y
tenemos finalmente:
P(t)
= Y ( 1 + ( - d e-pt
+ p e-dt )
/ ( d - p ) )
Anexo
5: Leyes de Lotka y Volterra
Si tenemos el
siguiente sistema de ecuaciones:
Y’ = p Y – q YC = Y ( p – q C)
C’
= r YC – s C = C ( rY – s )
Reordenamos:
Ln(Y)’
= Y’/Y = p – q C
Ln(C)’ = C’/C = r Y – s
Referencias:
