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miércoles, 13 de agosto de 2014

Caos



Queridos lectores,

Tengo cierta afición a leer los posts que semanalmente publica John Michael Greer en su blog "El informe del Archidruida". Cada post es una pequeña joya literaria llena de una enorme capacidad de profundización en aspectos de lo más diverso, y van siempre salpimentados con una cierta dosis de ironía (necesaria cuando se trata de temas tan graves como es el relatar y hacer comprensible el fin de la sociedad industrial, que es a la que se dedica nuestro Archidruida, entre a otras cosas, en su blog). Uno de sus últimos posts contiene una pequeña perla que me gustaría relatar. A mi me ha gustado especialmente porque toca de lleno en los temas de investigación en los que he trabajado a lo largo de mi vida.

Describe John Michael Greer un experimento que uno puede repetir fácilmente en la bañera de su casa. Primero, se rellena la bañera con agua. Después, se sumerge la mano lo justo y se empieza a mover ésta lentamente adelante y detrás. Se observará un movimiento lento y bastante organizado del agua, prácticamente sin ondas. Progresivamente, se ha de acelerar el movimiento de la mano, hasta que se empieza a observar un cambio importante en el movimiento del agua: la formación de trenes de ondas que se propagan velozmente más allá de la mano y rebotan en todas las paredes de la bañera, interfiriendo constructivamente en algunos sitios (y provocando una mayor elevación del nivel del agua en ese punto) y destructivamente en otros (causando una momentánea calma en esas posiciones). Pero aquí no se acaba la historia: se ha de seguir acelerando el movimiento de la mano, y el movimiento del agua, oscilatorio y complejo pero aún con cierto orden, cambiará una segunda vez: se romperán los frentes de onda y se generarán remolinos en la estela de la mano que ya avanza veloz a un lado y otro, remolinos que se irán combinando para generar estructuras caóticas de mayor tamaño hasta que toda la bañera se mueva de manera anárquica y desestructurada, con súbitas subidas y bajadas del nivel y haciendo caprichosas formas que van cambiando rápidamente sin que se pueda predecir cómo se verá afectado un punto en algún instante de tiempo.

Lo que el Archidruida describe es la transición del movimiento de un fluido desde un movimiento laminar (ordenado) a uno turbulento, a medida que la potencia con la que se fuerza el sistema va creciendo. Por supuesto esto cautivó en seguida mi atención, puesto que mi carrera académica y más de la mitad de mi producción científica versa sobre el análisis de la turbulencia, particularmente en fluidos oceánicos. Sin embargo, John Michael Greer va más allá y dice que en los sistemas dinámicos compuestos de muchas partes se suele observar el mismo comportamiento: que a medida que se aumenta el forzamiento, el sistema deja de comportarse de manera ordenada y comienza a oscilar, y que esa oscilación anuncia que el sistema está llegando a su límite: si se continúa el forzamiento el sistema vuelve a cambiar y entra en una fase caótica.

Realmente no puedo menos que quitarme el sombrero que no tengo delante de la erudición del archidruida, puesto que lo que él explica es justo lo que sucede habitualmente cuando se produce lo que los físicos llamamos "transiciones de fase"; y efectivamente la causa de los fenómenos observados son los llamados comportamientos emergentes que resultan cuando un sistema tiene multitud de componentes. La rama de la física que se ocupa de estudiar tales sistemas es la Física Estadística, que es justo el campo de donde yo vengo. Así que su post realmente sintonizó con mis conocimientos y mis intereses. Pero más allá de esa sintonía, John Michael Greer evoca ciertas ideas interesantes, sobre el devenir de los sistemas complejos sometidos a esas transiciones, que me gustaría desarrollar en este post y con la perspectiva de varias de las crisis que tenemos ahora mismo sobre el tapete.

En Física, un sistema es un conjunto de partes elementales, la estructura de las cuales se considera irrelevante para el problema estudiado. Estas partes del sistema están sometidas a unas interacciones concretas y bien definidas entre ellas, generalmente muy simples. Por ejemplo, el planeta Tierra es un sistema (o forma parte de uno, si consideramos el Sistema Solar), y las interacciones entre sus partes elementales (a los efectos de esta discusión, los átomos) no pueden ser más simples: son las cuatro interacciones fundamentales de la Naturaleza (nuclear fuerte, nuclear débil, electromagnética y gravitatoria), aunque para describir la mayoría de los procesos que tienen lugar en la Tierra basta con dos de ellas, la electromagnética y la gravitatoria. En ambos casos se trata de fuerzas centrales (cada partícula es el centro de la propia interacción que ella causa en los demás) que decaen como el cuadrado de la distancia a la partícula (por lo tanto, la fuerza que nuestra partícula ejerce sobre una partícula que está el doble de lejos que otra dada es cuatro veces menor). La interacción electromagnética puede ser tanto atractiva como respulsiva, en tanto que la gravitatoria sólo es atractiva. Y a pesar de la terrible sencillez con la que describimos estas interacciones (las pocas frases precedentes), la Tierra es un sistema complejísimo con comportamientos tremendamente elaborados que describimos con ecuaciones abstrusas. ¿Cómo es posible que un sistema formado por tantos elementos básicos, los átomos, que interactúan de manera tan sencilla, pueda dar lugar a tan diversos comportamientos y tan complejas estructuras, desde la cataratas del Niágara hasta los nervios de una hoja de árbol?

Sucede que cuando un sistema está formado por una grandísima cantidad de elementos comienza a mostrar "comportamientos emergentes". La suma de muchas individualidades sencillas se acaba manifestando como una colectividad compleja. No sólo este colectivo interactúa de muchas maneras elaboradas y diversas, sino que además su modo de funcionamiento puede alterarse por completo. Se denomina "estado del sistema" o simplemente "estado" a una situación del mismo que se caracteriza por ciertas variables que definen el comportamiento colectivo: la temperatura - que es en realidad una medida de la energía cinética media de las partículas, la presión, el volumen, la dureza, la densidad, la viscosidad, etc... Cuando un sistema está en un determinado estado las variables que caracterizan el mismo permanecen constantes o se mueven dentro de un determinado rango de valores; por ejemplo, el volumen de un sólido varía muy poco, en función de la temperatura, en tanto que un líquido tiene una viscosidad relativamente baja - para un sólido ésta es infinito, por definición. En ese caso decimos que el sistema está en una cierta fase. Pero bajo ciertas condiciones, si forzamos externamente el sistema (por ejemplo, cogemos un sólido y aumentamos su temperatura) podemos acabar induciendo lo que se denomina un "cambio de fase", es decir, un cambio radical de las variables que definen el estado (en el ejemplo del sólido antedicho, la viscosidad pasaría de ser infinita a tener un valor relativamente bajo). Una vez ha cambiado de fase, el sistema pasa a comportarse de manera completamente diferente a como lo había hecho (por ejemplo, un sólido permanece estable sobre una mesa, en tanto que un líquido se desparrama en todas direcciones, y un gas se difunde por el aire y se mezcla con el resto de gases).


Lo realmente interesante es lo que pasa cuando nos acercamos a ese punto crítico (pues así se llama) en el que un sistema cambia de fase, antes de que pase de comportarse de una manera a comportarse de otra (antes de que el agua hierva, antes de que la adición de un nuevo grano de arena provoque una avalancha, antes de que la depresión tropical se convierta en huracán...). Cerca del punto crítico alguno de los parámetros del sistema se dispara o se vuelve inestable. Pequeñas perturbaciones en el sistema inducen variaciones grandes o oscilatorias en los parámetros afectados. El sistema fluctúa y se vuelve caótico. Exactamente tal y como comenta John Michael Greer, la aparición de tales fluctuaciones anuncia la llegada al punto crítico, y a medida que nos acercamos al punto en que nuestro sistema dejará de ser como es y cambiará radicalmente la amplitud de estas fluctuaciones se va haciendo ominosamente más grande.

Al igual que muchos sistemas naturales estructurados, como por ejemplo los ecosistemas, nuestra sociedad es también un sistema complejo, integrado por multitud de pequeñas partes con multitud de interacciones, y también en ella se observan comportamientos emergentes del sistema como todo que van más allá de los comportamientos de la suma de sus partes. Es por tanto un terreno propicio para la aplicación de los principios de la Física Estadística, y de hecho hace muchos años que diversas subramas de la misma estudian partes del sistema social humano (por ejemplo, la econofísica o la teoría de redes).

Nuestra sociedad está en crisis desde hace ya unos años. A pesar de los cantos de sirena del gobierno español no se está produciendo una recuperación en este país y si se miran los indicadores mundiales se concluye que tampoco se da en el mundo. Al contrario, la amplitud de la crisis parece estar creciendo: empleo más precario, ahorros disminuyendo, crisis financiera que no acaba, crisis institucional llegando a extremos insoportables... ¿Estamos entrando en una situación de oscilaciones cada vez mayores que anticipan una transición de fase, un cambio abrupto de nuestro mundo y nuestra sociedad? Miremos nuestro entorno con un poco de detalle.

Los ecosistemas del planeta están gravemente amenazados. En los círculos académicos se habla de la Sexta Extinción, en este caso no desencadenada por ningún metorito o por la irrupción de las algas sino por la acción del hombre. Ya hemos comentado sobre los múltiples indicadores de estos cambios radicales. Si no se produce un cambio de rumbo, las especies animales y vegetales que dominarán este planeta durante los próximos milenios serán otras muy diferentes a las actuales. Que los ecosistemas están gravemente alterados lo evidencia las continuas oleadas de anomalías: un año las aguas se llenan de medusas como jamás se había visto, otro se producen proliferaciones de algas antes esporádicas, se encuentran insectos mucho más al norte de su hábitat natural, etc, etc. En suma, fluctuaciones que nos anuncian un próximo cambio de fase, del establecimiento de nuevos ecosistemas.

Otro ejemplo de sistema que está sufriendo grandes oscilaciones (y que es al que aludía John Michael Greer en su post) es el sistema climático de la Tierra. Los que vivimos en el tercio norte de España estamos experimentando un verano extraño, con cambios bruscos de temperatura y precipitación, exactamente como se describía en el post "Un año sin verano", pero las anomalías cubren todo el planeta: la sequía en el Oeste de los EE.UU. está alcanzando magnitudes de catástrofe nacional, los fuegos asolan periódicamente la estepa rusa, las temperaturas registradas en muchos puntos del Círculo Polar Ártico rompen máximos y el planeta tomado en su conjunto registra los meses más calurosos desde que hay registros. No sólo es el verano; teniendo en cuenta cómo han sido los últimos otoños (más cálidos y secos de lo habitual donde yo vivo) e inviernos (la palabra "ciclogénesis explosiva" seguramente trae muchos malos recuerdos a los habitantes de la fachada atlántica del continente europeo) no es desacabellado pensar que quizá los cambios observados son esas oscilaciones cuya creciente amplitud anticipan un relativamente próximo cambio de fase del clima; cuál será el nuevo clima, nadie lo sabe, aunque el impacto del nuevo régimen de vientos y lluvias tendrá implicaciones determinantes sobre la vida de personas en un momento que tendrán que depender más de los frutos de la tierra para subsistir, al decrecer la disponibilidad de energía en general.

¿Qué decir del petróleo y los otros recursos no renovables? ¿Se puede considerar que se estén produciendo fluctuaciones crecientes en su disponibilidad, presagio del cambio secular? Una simple ojeada a las noticias de los últimos meses nos muestra que, tras años -no demasiados- de relativa calma (con muchos conflictos todavía pero de poca presencia mediática) se está produciendo una cierta explosión de guerras y los conflictos en países que llevaban décadas tranquilos. ¿El denominador común de estos conflictos? No se puede decir rotundamente que haya sólo uno, pero en el sustrato de  todas estas guerras y revueltas (Egipto, Siria, Irak, Ucrania, Nigeria, Libia, Sudán) hay una fuerte componente de control de recursos de gas y/o de petróleo. En otros países productores la cada vez más indisimulable caída de la producción de petróleo (y, por tanto, la disminución de los ingresos de su exportación o el aumento de los gastos de su importación), están tensando la cuerda y provocando cada vez más conflictos internos que día sí y día no saltan a la prensa. Es el caso de Argentina y su reciente default parcial,




de Brasil y sus movimientos de protesta contra los recortes,




de Venezuela y su desabastecimiento de productos básicos,

y el de México y las recientes y discutidas leyes de reforma energética,
y de tantos otros países a los cuales el maná del petróleo ha dejado de fluir como solía. 

Si la mayoría de los países productores de petróleo tienen serios problemas, ¿qué está pasando en los países que no producían petróleo y tenían que importarlo? Pues que sufren. Sufren todos. Sufren porque falta petróleo para alimentarlas. Las exportaciones de petróleo crudo del mundo están estancadas, anticipando el declive:


Fuente: http://peakoilbarrel.com

Incluso los EE.UU. sufren por la falta de petróleo, para sorpresa de muchos desinformados. Aunque el consumo total de petróleo (crudo más condensado) en los EE.UU. ha aumentado en los últimos años, el consumo de petróleo per cápita cae desde 2005, el año en que llegamos al peak oil del petróleo crudo convencional, como explica en un reciente y muy recomendable artículo Gail Tverberg:




Y como explica Gail Tverberg, no sólo cae el consumo per cápita de petróleo en los EE.UU.: también cae el consumo per cápita de energía (total, no sólo petróleo), cosa que en la historia de los EE.UU. no había pasado nunca; y es que la burbuja del fracking es sólo eso: una burbuja.

La realidad es que la producción de todos los líquidos del petróleo (el petróleo crudo más todos los sucedáneos, sirvan o no, que se añaden a la contabilidad para disimular que la producción de crudo ya está cayendo) es desde hace unos años insuficiente para cubrir la demanda (fíjense en la gráfica el pequeño salto que hay entre la línea negra que representa el consumo y la curva sombreada verde que representa la producción). Según se reconoce en el anuario de BP de donde están tomados estos datos, se está echando mano de las reservas de la industria para cubrir la demanda con una oferta que ya es insuficiente.



¿Se pueden empeorar estas malas noticias? Pues sí: si excluimos a los EE.UU., la producción de todos los líquidos asimilados a petróleo del mundo está ya cayendo.


Fuente: http://peakoilbarrel.com/anticipating-peak-world-oil-production/

Y teniendo en cuenta que se prevé la próxima llegada del cenit del petróleo de fracking de los EE.UU., resulta evidente que en un año o dos el declive de la producción de todos los líquidos (no sólo del petróleo crudo) ya no se podrá disimular.


Fuente: http://peakoilbarrel.com/imminent-peak-us-oil-production
Estamos pues en una situación en la que la disponibilidad de petróleo disminuye ya para todos, pero los más poderosos sufren menos porque pueden afanarse una porción mayor de la tarta y algunos países, como China, aún están consiguiendo aumentar su consumo, lógicamente a costa de otros. Hasta hace unos años estos "otros" países nos pillaban muy lejos. Pero ahora que la tarta está empezando a menguar con cierta rapidez, de repente asistimos al espectáculo de ver países occidentales, obviamente los menos poderosos, que se ven forzados a bajar su consumo precipitadamente y consecuentemente  a sumirse en crisis económicas cada vez más profundas. Países donde el consumo de petróleo ha caído más de un 20% durante los últimos años porque sus economías no pueden absorber los altos costes de esta materia prima, porque además sus economías están entre las más dependiente del petróleo. Es el caso de Grecia,



de Italia,



de Portugal,



y, por supuesto, de España.



Ya lo sabemos: soplan vientos de cambio, y si ponen cada día el noticiero se habrán dado cuenta de que cada vez son más huracanados. Esta inestabilidad, esta creciente conflictividad, estas guerras más o menos declaradas, esta escalada dialéctica entre algunas de las grandes potencias... son para el ámbito de los recursos, de nuevo, grandes fluctuaciones en nuestro estado actual, y que por tanto anticipan un brusco cambio de estado, que en este caso sólo puede ser catastrófico (imagínense que supondría por ejemplo, una guerra comercial o más convencional con Rusia, o el colapso de Arabia Saudita).

Al hilo de los problemas geopolíticos que irán aflorando por la creciente escasez del combustible que alimenta la economía mundial, pero con factores que le son propios, vivimos los últimos meses antes del próximo crash bursátil. Las economías de todo el mundo sufrirán un gran retroceso, semejante al que se vivió en 2008, en algún momento entre el final de este año y el comienzo del que viene. Varios factores de los últimos meses (las crecientes revueltas, los malos indicadores económicos de las economías europeas, la tensión al alza con Rusia, el ralentizamiento de la economía china...) son las fluctuaciones que preceden un gran cambio de fase, el que más dará que hablar llegado a ese momento, el que nadie relacionará con todo lo demás, el que eclipsará todo lo demás hasta que nada más sea visible.


Durante los próximos doce meses se producirán muchos eventos que pondrán en compromiso la estabilidad de muchos países. Más allá de los referendos de independencia en Escocia y en Cataluña, el hundimiento de las expectativas políticas electorales de los grandes partidos presagia el hundimiento de los Estados nación en Europa, un proceso que puede acelerarse si finalmente invaden Irak una vez más o van a la guerra más o menos declarada con Rusia. Nuevas oscilaciones crecientes que presagian un cambio abrupto hacia un nuevo escenario radicalmente diferente.

Si en el experimento de la bañera dejas de mover la mano (dejas de someter el líquido al forzamiento) el agua volverá a calmarse y conseguirá llegar de nuevo a un estado equilibrio. En algunos casos el nuevo equilibrio será semejante al anterior. Pero, en general, este equilibrio no tiene por qué ser igual que el anterior, y puede llegar a ser muy diferente. A ese fenómeno se le conoce como histéresis. Un caso típico de histéresis dentro de los sistemas que hoy comentamos es el de las cadenas tróficas: si alteramos brutalmente un ecosistema (por ejemplo, cazando o pescando masivamente ciertas especies) cuando lo dejemos en paz no volverá a ser como antes: nuevas especies habrán ocupado los nichos ecológicos de las que antes había, impidiendo que éstas vuelvan, y quizá impidiendo también la consolidación de una cadena trófica viable y estable.

Nuestro sistema climático oscila, también los ecosistemas y los precios de los recursos avanzan en agitación, y hasta los países están cada vez más revueltos. Estas oscilaciones nos anticipan que estamos llegando a los límites. Es preferible no forzarlos más, no sólo por el caos que resultará (con sus inevitables dosis de destrucción), sino porque cuando al final todo se calme, eliminada la perturbación que históricamente habrá durado un suspiro, las cosas ya no volverán a ser como antes. Y es poco probable que sean mejores.

Salu2,
AMT

lunes, 27 de agosto de 2012

Teoría de sistemas dinámicos

Queridos lectores,

La batería de posts enviados por los lectores es ya bastante amplia, y espero poder despacharla en las dos próximas semanas. El post de hoy es bastante técnico, pero es fundamental para comprender algunas de las claves de la complejidad y de la dificultad predictiva en muchos sistemas reales. Del solvente puño y letra de Luis Cosin, bienvenidos sean al mundo de los sistemas dinámicos.

Salu2,
AMT


1. Sistemas dinámicos


La dinámica de sistemas es una disciplina relativamente nueva, que ha conocido un desarrollo importante en los últimos años gracias a la informática.

Su objetivo es modelizar, simular y tratar de comprender el funcionamiento de sistemas complejos, donde se dan fenómenos de retroalimentación (es decir, donde un fenómeno es a la vez “causa” y “efecto” de otros).

La mentalidad sistémica rompe con la linealidad del pensamiento causa-efecto y explora la forma en que múltiples fenómenos interaccionan entre sí.

La metodología sistémica se usa cada vez más en el análisis de sistemas ecológicos, sociales, económicos, empresariales...etc. para la toma de decisiones.

Conceptualmente, un sistema dinámico es un conjunto de agentes, que realizan intercambios cuantificables entre sí (materia, información, energía...etc.) de acuerdo a unas reglas o “leyes” que regulan su comportamiento.


Referencias






2. Formalización


La formalización de lo que es un sistema dinámico es relativamente sencilla y fue dada en la década de los 60 por Jay Forrester.

Un sistema dinámico es un conjunto de agentes o partes que intercambian entre sí flujos cuantificables de materia, energía o información de acuerdo con ciertas reglas de funcionamiento.

Cada agente del sistema queda definido por un estado, que es un conjunto de variables (variables de estado) que describen su situación. Por poner un ejemplo “BAU” con el que estemos familiarizados, un almacén puede quedar definido por las cantidades en stock de los diferentes materiales.

ALMACÉN


Stock ítem 1
Stock ítem n











Y unas reglas para comunicarse con el resto de agentes (es decir, con qué otros agentes y a qué ritmo puede realizar intercambios y cómo esos intercambios afectan a su estado).

Por ejemplo, en el caso de un almacén, y siguiendo un BAU muy minimalista, podríamos definir los siguientes intercambios:



Aún se pueden incluir más factores o “agentes” que interactúen con los anteriores: expectativas de clientes, costes de transporte, disponibilidad de ciertos recursos críticos, huelgas, disponibilidad de personal, previsiones de venta de los proveedores…etc.

Estos diagramas pueden alcanzar gran complejidad y no deben leerse “de arriba abajo” o “de izquierda a derecha” sino que cualquer punto y cualquier dirección puede servir de partida para describir un proceso o una interacción.

De hecho, toda interacción que pueda ser cuantificable puede formar parte del modelo. Uno de los métodos más usados para identificar factores e influencias es el “brainstorming” o “tormenta de ideas” donde participen tanto personas familiarizadas con el sistema como otras no familiarizadas.

Una vez que estamos razonablemente satisfechos con la lista de agentes y sus interacciones, hay que definir las reglas cuantitativas por medio de las cuales se relacionan entre sí.

Por simplicidad en el tratamiento matemático posterior, suele asumirse que los intercambios son continuos y equiparables a flujos de fluidos (es decir, como si hubiese “entradas”, “salidas”, “depósitos” y “tuberías”).

Así, suele expresarse el flujo instantáneo en un momento dado como una derivada. En el caso anterior, para la variable “Stock ítem 1”, podemos establecer que la variación instantánea es:

d (Stock ítem 1)
_____________ = F(variables de estado del sistema)
d t

Es decir, en todo momento, la velocidad a la que varía la variable (en este caso, el stock del ítem 1) es una función del resto de variables de estado del sistema: tasa de reposición, demanda, tiempo de entrega…etc.

Aquí es necesario apoyarse en mediciones y experimentos en los que se mida el output del agente en función de los diferentes estados posibles.

Una vez definidas las reglas, tenemos el modelo del sistema dinámico, consistente en un sistema de ecuaciones, que debe ser testado frente a observaciones reales (para verificar su capacidad de replicar el comportamiento observado).

La componente matemática, temporal y determinista del comportamiento de los agentes y sus interacciones es fundamental para obtener un modelo capaz de predecir el comportamiento del sistema en situaciones no observadas.


Referencias



3. Grados de libertad y evolución de los sistemas dinámicos


Podemos representar el estado de un sistema en un momento dado como un vector de N dimensiones formado por todos los valores de sus variables de estado:

( x1 … xN )

Sin embargo, debido a las restricciones impuestas, no todas las variables de estado pueden tomar cualquier valor: unas dependen de otras.

Se llama “dimensión” o “grados de libertad”, n, del sistema al número máximo de variables de estado independientes.

De forma un poco grosera, para restricciones que sean independientes:

n = Grados de libertad = número de variables de estado – número de restricciones.

Así, un sistema de 10 variables de estado y 3 restricciones independientes tiene 7 grados de libertad.

Si el sistema tiene dimensión “n” y las variables a partir de n, xn+1 … xN son dependientes de las anteriores, entonces, el sistema queda realmente descrito por el siguiente subconjunto de variables:

( x1 … xn )

Y no necesitamos considerar el resto.

Para cada punto, definimos el vector de la evolución instantánea del mismo desde ese punto como la derivada respecto del tiempo en ese punto.

( dx1 / dt … dxn / dt )

Obtenemos así un campo de vectores. Este campo de vectores puede tener muchas dimensiones y no ser representable.

En el caso más simple, de dos dimensiones (2 grados de libertad) el campo de vectores puede representarse como una “alfombra” de vectores, uno en cada punto:




En cada punto, el vector del campo nos da dos datos:

  • La dirección en la que el sistema evoluciona desde ese punto.
  • La velocidad a la que lo hace (que es la longitud o módulo del vector)

Las curvas cuya derivada respecto al tiempo en cada punto es igual al vector del campo en dicho punto se llaman curvas integrales y dan la evolución temporal del sistema.


Referencias







4. Atractores

Un atractor o sumidero es el comportamiento al que tiende un sistema cuando se deja pasar suficiente tiempo, independientemente de la situación inicial. Es decir es un subconjunto del conjunto de estados posibles que representa un comportamiento límite.

Un sistema puede no tener atractores en absoluto, por ejemplo, si su comportamiento viene definido por un campo de vectores en espiral, de modo que su comportamiento sea alejarse indefinidamente del centro de la espiral.

O puede tener uno sólo, o más de uno. En caso de tener más de uno, su comportamiento límite va a depender de la situación inicial.

Generalmente, los atractores se clasifican en tres tipos:

  • Atractores puntuales: Son puntos tales que, si el sistema pasa suficientemente cerca de ellos, evolucionará acercándose cada vez más a ellos.


Atractor puntual simple

  • Atractores cíclicos: Son conjuntos cerrados (pueden ser curvas cerradas en el plano, toros en un espacio de tres dimensiones…etc.) llamados ciclos límite. Se caracterizan por estar acotados y exhibir un comportamiento cíclico en cada una de las variables (que, sin embargo, no tienen por qué estar sincronizadas entre sí!).


Atractor del sistema de Lotka-Volterra (equilibrio predador-presa)



Atractor del diagrama de fases de Van Der Pol (usado al sintonizar radios y TV)


Atractor en forma de toro de dos dimensiones
(dos variables de estado independientes cíclicas y no acopladas)

  • Atractores “extraños”: Un gran cajón de sastre con “todo lo demás”. El atractor tridimensional de Lorenz, ligado al sistema climático y que es uno de los primeros ejemplos de sistema caótico, es uno de los atractores extraños más conocidos y tiene forma de “alas de mariposa” (de donde viene la expresión “efecto mariposa”).



Atractor de Lorenz para el sistema climático




Atractor de Rossler (útil para describir eqilibrios en reacciones químicas)


Al igual que existen conjuntos atractores, existen conjuntos repelentes. Se trata de comportamientos que el sistema tiende a abandonar y prefiere alejarse de ellos. Un ejemplo es el conjunto de Juliá.

El teorema de Poincaré-Bendixson muestra que un atractor extraño sólo puede darse en un sistema dinámico continuo si éste tiene tres o más dimensiones (es decir, tres o mas grados de libertad).

Para sistemas discretos, existen ejemplos de atractores extraños para 1 y 2 dimensiones.


Atractores extraños para el sistema de Henon-Heiles (sistema discreto)


Muchos atractores extraños conocidos tienen una estructura fractal.

Referencias




5. Orden y caos

(Reconozco que el título de esta sección es un poco pretencioso) Los sistemas dinámicos se clasifican en tres grandes tipos:

  • Estables, cuando tienden invariablemente a uno o más atractores simples (puntos u órbitas de dos o más dimensiones) sin escaparse de ellos.

  • Inestables, cuando no tienen atractores o no todos sus estados iniciales convergen a un atractor.

  • Caóticos, cuando exhiben ambos comportamientos (en función de las condiciones iniciales). Existen atractores, pero a la vez, hay repelentes que los alejan de éstos. El sistema permanece confinado en una zona de su espacio de estados, pero sin tender a un atractor fijo.

De este modo, su comportamiento, aunque determinista, es muy dependiente de las condiciones iniciales, hasta el punto que pequeñas variaciones en las mismas pueden conducir a comportamientos totalmente diferentes. El primer ejemplo conocido de sistema caótico es el sistema climático descrito por el atractor de Lorenz.

Ejemplos de sistemas caóticos son: el Sistema Solar, las placas tectónicas, los fluidos en régimen turbulento y los crecimientos de población.

Referencias